стрелок делает 4 выстрела по мищени. Вероятность попадания при одном выстреле 3/4. Найти вероятность того, что попадет 3 раза
Для решения задачи о вероятности попадания стрелка 3 раза из 4 при вероятности попадания при одном выстреле \( p = \frac{3}{4} \), а вероятности промаха \( q = 1 - p = \frac{1}{4} \), воспользуемся формулой биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее количество выстрелов (в нашем случае 4),
- \( k \) — количество успешных выстрелов (в нашем случае 3),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Подставим значения в формулу:
- Нахождение биномиального коэффициента:
\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4 \]
- Подставим всё в формулу:
\[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{4-3} \]
\[ P(X = 3) = 4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^1 \]
- Рассчитаем \( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \) и \( \left( \frac{1}{4} \right) \):
\[ \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64} \]
\[ \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \]
- Теперь подставим:
\[ P(X = 3) = 4 \cdot \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64} \]
Итак, вероятность того, что стрелок попадет 3 раза из 4, равна:
\[ P(X = 3) = \frac{27}{64} \]
Это и есть окончательный ответ.
