Прямые АВ и СД скрещиваются. Какое расположение имеют прямые АС и ВД? а) параллельные; б) перпендикулярные; в) скрещиваются; г) пересекаются. 3. (1 балл) Какие из векторов а…

Question

Прямые АВ и СД скрещиваются. Какое расположение имеют прямые АС и ВД?
                                          а)             параллельные;
                                          б)            перпендикулярные;
                                          в)            скрещиваются;
                                           г)            пересекаются.
3. (1 балл) Какие из векторов а (1,2,-3), с (3,6,-6), в (2,4,-6) коллинеарные?
                                          а)             а, в;
                                          б)            с, в;
                                          в)            а, с;
                                           г)            коллинеарных векторов нет.
4. (1 балл) Даны точки А(2,0,5), В(2,4,-2) С(-2,6,3). Серединой какого отрезка является точка М(0,3,4)?
                                          а)             АВ;
                                          б)            АС;
                                          в)            ВС;
                                           г)            СВ.
 
Вторая часть
При выполнении заданий 5-9 запишите ход решения и полученный ответ.
5. (2 балла) Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА1=6,8см, ВВ1=7,4см.
6. (2 балла) Прямые АС, АВ и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=5 см, ВС=13 см, АД=9 см.
7. (2 балла) Даны векторы а(-6,0,8) , в(-3,2,-6). Найдите косинус угла между векторами а и в.
8. (2 балла) При каких значениях п векторы (4,п,2), (1,2,п) перпендикулярны?
9. (4 балла) Вершины треугольника АВС имеют А(2; 1; -8), В(1; -5; 0), С(8;1; -4). Определите вид треугольника. Найдите длину средней линии , параллельной стороне АС.
 
Контрольная работа № 1
по теме «Прямые и плоскости, координаты и векторы в пространстве»
 
Вариант 2
 
Первая часть
При решении заданий 1-4 запишите правильный ответ из четырех предложенных.
1.   (1 балл) Расшифруйте краткую запись: a∩.
                     а)       точка a принадлежит плоскости;
                     б)      точка a принадлежит прямой;
                     в)      прямая a принадлежит плоскости 
                      г)      прямая a пересекает плоскость.
2. (1 балл) Прямые АВ и СД параллельны. Какое расположение имеют прямые АД и ВС?
                                          а)             параллельные;
                                          б)            пересекаются;
                                          в)            скрещиваются;
                                           г)            перпендикулярные.

Answer

Привет! Давай разберемся с этими задачами.

Первая часть

1. (1 балл) Расшифруйте краткую запись: $a \cap $.

Правильный ответ: г) прямая a пересекает плоскость.

2. (1 балл) Прямые АВ и СД скрещиваются. Какое расположение имеют прямые АС и ВД?

Поскольку прямые скрещиваются, правильный ответ: в) скрещиваются.

3. (1 балл) Какие из векторов а (1,2,-3), с (3,6,-6), в (2,4,-6) коллинеарные?

Проверим коллинеарность:
$в = 2а$, значит, векторы а и в коллинеарны.

Ответ: а) а, в.

4. (1 балл) Даны точки А(2,0,5), В(2,4,-2), С(-2,6,3). Середина какого отрезка — точка М(0,3,4)?

Проверим середину:
Средняя точка АС ($\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{5+3}{2}$) = (0, 3, 4).

Ответ: б) АС.

Вторая часть

5. (2 балла) Найдите длину отрезка ММ1 (через параллельные прямые и среднюю линию).

Из условия средней линии, она равна среднему арифметическому длины AA1 и BB1, так что ММ1 = (6,8 + 7,4) / 2 = 7,1 см.

6. (2 балла) Найдите отрезок СД, если прямые попарно перпендикулярны.

Используем теорему Пифагора в трехмерном пространстве:
$СД = \sqrt{ВС^2 + АД^2 - АВ^2} = \sqrt{13^2 + 9^2 - 5^2} = 15$ см.

7. (2 балла) Найдите косинус угла между векторами а(-6,0,8) и в(-3,2,-6).

Формула для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$.

Считаем скалярное произведение и длины: (а · в) = 18.

Длины: $ |а| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 8^2} = 10, |в| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = 7 $.

Косинус ≈ 0,257.

8. (2 балла) При каких п векторы (4,п,2) и (1,2,п) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $4·1 + п·2 + 2·п = 0$.

Получаем: $4 + 2п + 2п = 0 \Rightarrow 4п = -4 \Rightarrow п = -1$.

9. (4 балла) Определите вид треугольника ABC и найдите длину средней линии, параллельной стороне АС.

Определим длины сторон и вид треугольника:
АB = 6, BС = 10, АС = 7.

Проверяем с равнобедренным признаком: $АB$, $BС$, $АС$ не равны. (Тип: произвольный).

Средняя линия = АС/2 = 3,5.

Надеюсь, это поможет! Если есть еще вопросы, с радостью помогу.