Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас…
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Для решения задачи обозначим:
- \( v \) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
- Скорость плота будет равна скорости течения реки, так как плот движется по течению, то скорость плота \( v_p = 3 \) км/ч.
Время, которое плот двигался до момента, когда лодка вернулась в пункт А, равно:
\[ t_p = \frac{51 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 17 \text{ ч} \]
Поскольку лодка вышла через 1 час после плота, она находилась в пути \( t_l = t_p - 1 = 17 - 1 = 16 \) часов.
Теперь найдем расстояние, которое проплыл лодка, когда она отправилась в пункт В. Время, за которое лодка достигла пункта В, составляет \( t_1 \) часов, а время возвращения \( t_2 \) часов. Полный путь, который лодка прошла в обе стороны равен:
\[ t_l = t_1 + t_2 \]
Лодка движется по течению до пункта В с моментальной скоростью \( v + 3 \) км/ч, а обратно против течения с моментальной скоростью \( v - 3 \) км/ч. При этом путь составляет 140 км.
Подставим времена в уравнение:
\[ t_1 = \frac{140}{v + 3} \]
\[ t_2 = \frac{140}{v - 3} \]
Таким образом, у нас есть уравнение:
\[ 16 = \frac{140}{v + 3} + \frac{140}{v - 3} \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \((v + 3)(v - 3)\):
\[ 16(v + 3)(v - 3) = 140(v - 3) + 140(v + 3) \]
Раскроем скобки:
\[ 16(v^2 - 9) = 140v - 420 + 140v + 420 \]
Сложим уравнения:
\[ 16v^2 - 144 = 280v \]
Переносим все элементы в одну сторону:
\[ 16v^2 - 280v - 144 = 0 \]
Поделим на 16, чтобы упростить:
\[ v^2 - 17.5v - 9 = 0 \]
Теперь используем формулу из дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 306.25 + 36 = 342.25 \]
Теперь находим \( v \):
\[ v = \frac{17.5 \pm \sqrt{342.25}}{2} \]
Посчитаем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{342.25} \approx 18.5 \]
Теперь найдём два возможных значения \( v \):
\[ v_1 = \frac{17.5 + 18.5}{2} \approx 18 \]
\[ v_2 = \frac{17.5 - 18.5}{2} \approx -0.5 \]
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
\[ v \approx 18 \text{ км/ч} \]
Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде составляет 18 км/ч.
