3x³-2x²-15x=0
Чтобы решить уравнение \(3x^3 - 2x^2 - 15x = 0\), начнем с того, что можно вынести общий множитель. В данном случае мы можем вынести \(x\):
\[ x(3x^2 - 2x - 15) = 0 \]
Теперь у нас есть два выражения, которые мы можем рассмотреть:
- \(x = 0\)
- \(3x^2 - 2x - 15 = 0\)
Первый корень уже найден: \(x = 0\).
Теперь решим квадратное уравнение \(3x^2 - 2x - 15 = 0\). Для этого будем использовать дискриминант, который рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -15\):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) \] \[ D = 4 + 180 \] \[ D = 184 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Теперь используем формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{184}}{6} \]
Теперь найдем \(\sqrt{184}\). Поскольку \(184 = 16 \cdot 11\), то:
\[ \sqrt{184} = 4\sqrt{11} \]
Теперь подставляем это обратно в уравнение для корней:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{11}}{6} \]
Сократим дробь:
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm 2\sqrt{11}}{3} \]
Таким образом, у нас есть три корня уравнения:
- \(x = 0\)
- \(x_1 = \frac{1 + 2\sqrt{11}}{3}\)
- \(x_2 = \frac{1 - 2\sqrt{11}}{3}\)
Эти корни - это все решения оригинального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь обращаться!
