Постройте график и перечислите ее свойства у=2х^2 +3х -2

Question 1

Задача Задача №2401656

А

Аноним

03 декабря 2024 08:17 · публичный вопрос

А

Аноним 03 декабря 2024 08:17

Постройте график и перечислите ее свойства у=2х^2 +3х -2

Answer

Для построения графика функции \( y = 2x^2 + 3x - 2 \) и перечисления её свойств, давайте последовательно выполним несколько шагов.

1. Построение графика

Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо найти несколько ключевых параметров:

Вершина параболы: Для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) вершина находится по координате \( x \), которая вычисляется по формуле: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} \] Подставим ваши значения \( a = 2 \) и \( b = 3 \): \[ x_{верш} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} \] Теперь подставим это значение в уравнение функции для нахождения координаты \( y \) вершины: \[ y_{верш} = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) - 2 \] \[ y_{верш} = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} - \frac{32}{16} = -\frac{50}{16} = -\frac{25}{8} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8}\right) \).
Направление ветвей: Поскольку коэффициент \( a = 2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх.
Пересечение с осью Y: Чтобы найти, где график пересекает ось Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \] Таким образом, график пересекает ось Y в точке \( (0, -2) \).
Пересечение с осью X: Для нахождения корней уравнения (пересечение с осью X) нужно решить уравнение: \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] Используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{4} \] Корни: \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \] Таким образом, график пересекает ось X в точках \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( (-2, 0) \).

2. Свойства графика

Тип: Парабола.
Направление ветвей: Вверх.
Вершина: \( \left(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8}\right) \).
Пересечение с осью Y: \( (0, -2) \).
Пересечение с осью X: \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( (-2, 0) \).
Область определения: Вся числовая прямая \( (-\infty, +\infty) \).
Область значений: \( \left[-\frac{25}{8}, +\infty\right) \).

Теперь, у вас есть все необходимые компоненты для построения графика и понимания свойств данной функции. Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

постройте график и перечислите ее свойства у=2х^2 +3х -2

Answer

Для построения графика функции \( y = 2x^2 + 3x - 2 \) и перечисления её свойств, давайте последовательно выполним несколько шагов. ### 1. Построение графика Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо найти несколько ключевых параметров: - **Вершина параболы**: Для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) вершина находится по координате \( x \), которая вычисляется по формуле: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} \] Подставим ваши значения \( a = 2 \) и \( b = 3 \): \[ x_{верш} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} \] Теперь подставим это значение в уравнение функции для нахождения координаты \( y \) вершины: \[ y_{верш} = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) - 2 \] \[ y_{верш} = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} - \frac{32}{16} = -\frac{50}{16} = -\frac{25}{8} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8}\right) \). - **Направление ветвей**: Поскольку коэффициент \( a = 2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх. - **Пересечение с осью Y**: Чтобы найти, где график пересекает ось Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \] Таким образом, график пересекает ось Y в точке \( (0, -2) \). - **Пересечение с осью X**: Для нахождения корней уравнения (пересечение с осью X) нужно решить уравнение: \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] Используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{4} \] Корни: \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \] Таким образом, график пересекает ось X в точках \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( (-2, 0) \). ### 2. Свойства графика - **Тип**: Парабола. - **Направление ветвей**: Вверх. - **Вершина**: \( \left(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8}\right) \). - **Пересечение с осью Y**: \( (0, -2) \). - **Пересечение с осью X**: \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( (-2, 0) \). - **Область определения**: Вся числовая прямая \( (-\infty, +\infty) \). - **Область значений**: \( \left[-\frac{25}{8}, +\infty\right) \). Теперь, у вас есть все необходимые компоненты для построения графика и понимания свойств данной функции. Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!