Результмрющее колебание точки, участвующей в двух колебанияходного направления,описывается выражением x=10cos2tcos40t. Найти период биений и циклические частоты складываемых колебаний.

Чтобы найти период биений и циклические частоты складываемых колебаний, начнем с разложения данного выражения.

Дано:
\[ x = 10 \cos(2t) \cos(40t) \]

Используя формулу для произведения косинусов, можно преобразовать данное выражение:

\[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A - B) \right) \]

Применим эту формулу:

\[ x = 10 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos(2t + 40t) + \cos(40t - 2t) \right) \]

Это упрощается до:

\[ x = 5 \left( \cos(42t) + \cos(38t) \right) \]

Теперь у нас есть два колебания с частотами \(42t\) и \(38t\).

Для нахождения циклических частот \(\omega_1\) и \(\omega_2\):

\[ \omega_1 = 42 \, \text{рад/с} \] \[ \omega_2 = 38 \, \text{рад/с} \]

Теперь найдем период биений \(T_b\). Период биений определяется разностью частот двух колебаний. Сначала найдем частоты \(f_1\) и \(f_2\):

\[ f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{42}{2\pi} \approx 6.69 \, \text{Гц} \] \[ f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{38}{2\pi} \approx 6.05 \, \text{Гц} \]

Теперь находим разность частот:

\[ \Delta f = f_1 - f_2 \approx 6.69 - 6.05 = 0.64 \, \text{Гц} \]

Период биений \(T_b\) будет равен обратной величине этой разности:

\[ T_b = \frac{1}{\Delta f} \approx \frac{1}{0.64} \approx 1.56 \, \text{с} \]

Итак, циклические частоты складываемых колебаний составляют \(\omega_1 = 42 \, \text{рад/с}\) и \(\omega_2 = 38 \, \text{рад/с}\), а период биений \(T_b \approx 1.56 \, \text{с}\).