Автомобиль массой 5 т движется со скоростью 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом 50 м. а) Вес автомобиля будет в верхней точке моста больше или меньше действующей на него силы тяжести? Обоснуйте свой ответ. б) Чему равен вес автомобиля в верхней точке траектории? в) С какой скоростью в километрах в час должен ехать автомобиль, чтобы он находился в состоянии невесомости только в верхней точке траектории? 

Для решения этой задачи воспользуемся законами механики.

Часть а)

В верхней точке моста на автомобиль действуют две силы: сила тяжести \( F_g \) и центростремительное ускорение \( F_c \), которое в данном случае направлено вниз к центру окружности.

1. Сила тяжести: \[ F_g = m \cdot g \] где \( m = 5 \, \text{т} = 5000 \, \text{кг} \), и \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \): \[ F_g = 5000 \cdot 9.81 \approx 49050 \, \text{Н} \]

2. Центростремительное ускорение: Центростремительное ускорение \( a_c \) рассчитывается по формуле: \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] где \( v \) – скорость автомобиля в м/с, а \( R = 50 \, \text{м} \) – радиус кривизны. Прежде всего, преобразуем скорость из км/ч в м/с: \[ v = 36 \, \text{км/ч} = \frac{36 \cdot 1000}{3600} = 10 \, \text{м/с} \]

   Теперь подставим значения: \[ a_c = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \, \text{м/с}^2 \]

   Сила, вызываемая центростремительным ускорением: \[ F_c = m \cdot a_c = 5000 \cdot 2 = 10000 \, \text{Н} \]

Теперь рассмотрим действующую на автомобиль силу в верхней точке. В этой точке вес автомобиля \( F_g \) и центростремительная сила \( F_c \) складываются. Для поддержания кругового движения \( F_g - F_c = 0 \):

Вывод: Если \( F_g > F_c \), то вес автомобиля будет больше, иначе – меньше. Поскольку \( F_g = 49050 \, \text{Н} \) и \( F_c = 10000 \, \text{Н} \): \[ F_g > F_c \]

Следовательно, в верхней точке моста вес автомобиля будет больше действующей на него центростремительной силы.

Часть б)

Мы уже вычислили вес автомобиля: \[ F_g = 49050 \, \text{Н} \] Это его вес в верхней точке траектории.

Часть в)

Чтобы автомобиль находился в состоянии невесомости в верхней точке траектории, центростремительная сила должна быть равна весу автомобиля.

Формально, условие: \[ F_g - F_c = 0 \Rightarrow F_g = F_c \]

Подставим значения: \[ m \cdot g = \frac{v^2}{R} \cdot m \Rightarrow g = \frac{v^2}{R} \]

Решим уравнение: \[ v^2 = g \cdot R \Rightarrow v = \sqrt{g \cdot R} \] Подставляем значения: \[ v = \sqrt{9.81 \cdot 50} \approx \sqrt{490.5} \approx 22.1 \, \text{м/с} \]

Теперь преобразуем скорость в км/ч: \[ v \approx 22.1 \cdot \frac{3600}{1000} \approx 79.56 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, скорость, с которой автомобиль должен ехать, чтобы быть в состоянии невесомости в верхней точке моста, составляет приблизительно 79.56 км/ч.