Напиши уравнение прямой ах + by + c = 0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек А (1; 4) и В (7;9). Для решения задачи используй формулу расстояния между двумя точками. (В первое окошко пиши положительное число. Отрицательное число пиши без скобок. Коэффициенты уравнения в ответе сокращать не нужно!)

Чтобы найти уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек \( A(1, 4) \) и \( B(7, 9) \), нужно использовать формулу для расстояния между двумя точками. Прямая, которая удовлетворяет этому условию, является перпендикулярным биссектрисой отрезка \( AB \).

Сначала найдем середину отрезка \( AB \): \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{4 + 9}{2} \right) = \left( 4, 6.5 \right) \]

Теперь найдем наклон (угловой коэффициент) отрезка \( AB \): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 4}{7 - 1} = \frac{5}{6} \]

Угловой коэффициент биссектрисы \( m \) будет равен отрицательному обратному значению \( k \): \[ m = -\frac{1}{k} = -\frac{6}{5} \]

Теперь, зная точку \( M(4, 6.5) \) и наклон \( m \), можем составить уравнение прямой в виде: \[ y - y_0 = m (x - x_0) \] где \( (x_0, y_0) \) – координаты точки середины. Подставляем значения: \[ y - 6.5 = -\frac{6}{5} (x - 4) \]

Переписываем это уравнение: \[ y - 6.5 = -\frac{6}{5}x + \frac{24}{5} \]

Умножаем все на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 5y - 32.5 = -6x + 24 \]

Преобразуем: \[ 6x + 5y - 56.5 = 0 \]

Умножим все на -2, чтобы привести к нужному формату: \[ -12x - 10y + 113 = 0 \]

Упрощая до стандартного вида, получим: \[ 12x + 10y - 113 = 0 \]

Таким образом, уравнение прямой: \[ 12x + 10y - 113 = 0 \]

Коэффициенты уравнения: \( a = 12 \), \( b = 10 \), \( c = -113 \).