50 человек необходимо разбить на 10 команд по 5 человек в каждой. Какова вероятность того, что два друга - Миша и Петя - попадут в одну команду?
Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторные методы.
Общее количество способов разбить 50 человек на 10 команд по 5 человек: Обозначим людей как \( P_1, P_2, \ldots, P_{50} \). Общее количество способов разбить 50 человек на 10 команд по 5 человек можно рассчитать по формуле: \[ \frac{50!}{(5!)^{10} \times 10!} \] Здесь \( 10! \) учитывает перестановки команд, а \( (5!)^{10} \) — перестановки внутри каждой команды.
Количество способов, в которых Миша и Петя находятся в одной команде: Предположим, что Миша и Петя уже попали в одну команду. Мы должны выбрать еще 3 человека из оставшихся 48 (так как после выбора Миши и Пети остаются 48 человек). Количество способов выбрать 3 человека из 48: \[ \binom{48}{3} \] После этого у нас остается 45 человек, которых нам нужно разбить на 9 команд по 5 человек. Количество способов разбить оставшихся 45 человек на 9 команд: \[ \frac{45!}{(5!)^9 \times 9!} \]
Таким образом, общее количество способов распределить людей так, чтобы Миша и Петя были в одной команде: \[ \binom{48}{3} \times \frac{45!}{(5!)^9 \times 9!} \]
Вероятность того, что Миша и Петя окажутся в одной команде: Вероятность того, что Миша и Петя окажутся в одной команде, будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{\binom{48}{3} \times \frac{45!}{(5!)^9 \times 9!}}{\frac{50!}{(5!)^{10} \times 10!}} \]
Упрощая это выражение: \[ P = \frac{\binom{48}{3} \times (5!)^{10} \times 10!}{50! \times (5!)^9 \times 9!} \] \[ P = \frac{\binom{48}{3} \times 10!}{50! \times 9!} \] Заметим, что \( \binom{48}{3} = \frac{48 \times 47 \times 46}{3 \times 2 \times 1} \).
В итоге, подставляем выражение для вероятности:
Скоро выяснится: \[ P = \frac{48 \times 47 \times 46}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{10!}{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46} \]
После упрощения будет получено: \[ P = \frac{3 \times 10}{49} \]
И финальный ответ будет выглядеть как: \[ P = \frac{3}{49} \]
Таким образом, вероятность того, что Миша и Петя окажутся в одной команде, составляет \( \frac{3}{49} \).
