Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Обозначим:
- скорость Маши (количество заданий в час) как (M),
- скорость Даши как (D).
Согласно условию, Маша решает быстрее Даши на 5 заданий в час, то есть:
[
M = D + 5
]
Теперь, разберем время, за которое Маша и Даша выполняют тесты. Время, необходимое Маше для выполнения 110 заданий, равно:
[
\frac{110}{M}
]
А время, необходимое Даше для выполнения 119 заданий:
[
\frac{119}{D}
]
По условию, Маша решает тест на два часа меньше, чем Даша:
[
\frac{110}{M} = \frac{119}{D} - 2
]
Теперь подставим (M) в это уравнение:
[
\frac{110}{D + 5} = \frac{119}{D} - 2
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на (D(D + 5)), чтобы избавиться от дробей:
[
110D = 119(D + 5) - 2D(D + 5)
]
Раскроем скобки:
[
110D = 119D + 595 - 2D^2 - 10D
]
[
110D = 109D + 595 - 2D^2
]
Соберем все элементы на одну сторону:
[
2D^2 + 110D - 109D - 595 = 0
]
[
2D^2 + D - 595 = 0
]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
[
D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 2), (b = 1), (c = -595). Находим дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-595) = 1 + 4760 = 4761
]
Теперь найдем корень:
[
D = \frac{-1 \pm \sqrt{4761}}{4}
]
Корень из 4761 равен 69 (так как (69^2 = 4761)).
Теперь подставим:
[
D = \frac{-1 + 69}{4} = \frac{68}{4} = 17
]
Теперь, подставим значение (D) обратно, чтобы найти (M):
[
M = D + 5 = 17 + 5 = 22
]
Таким образом, Маша решает 22 задания в час.
Ответ: Маша решает 22 задания в час.
