При каком значении Z векторы а=(3;0;z) и b=(4;7;2) перпендикулярны

Чтобы определить, при каком значении \( z \) векторы \( \mathbf{a} = (3; 0; z) \) и \( \mathbf{b} = (4; 7; 2) \) перпендикулярны, необходимо использовать условие, что скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Где \( a_1, a_2, a_3 \) — компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_1, b_2, b_3 \) — компоненты вектора \( \mathbf{b} \).

Подставим значения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 7 + z \cdot 2 \]

Теперь упростим выражение:

\[ 12 + 0 + 2z = 12 + 2z \]

Чтобы векторы были перпендикулярны, это выражение должно равняться нулю:

\[ 12 + 2z = 0 \]

Теперь решим это уравнение для \( z \):

\[ 2z = -12 \] \[ z = -6 \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут перпендикулярны при \( z = -6 \).