Задача 5: К сети с напряжением U = 24 В подключили два последовательно соединенных резистора. При этом сила тока составила I₁ = 0,6 А. Когда резисторы подключили параллельно, суммарная сила тока стала равной I₂ = 3,2 А. Определите сопротивления резисторов

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим сопротивления резисторов. Пусть сопротивление первого резистора — \( R_1 \), а второго — \( R_2 \).

Шаг 1: Параллельное соединение

Когда резисторы подключены параллельно, у нас есть следующая формула для суммарного сопротивления:

\[ I_2 = \frac{U}{R_{параллель}} \]

Сопротивление в параллельной цепи можно выразить как:

\[ \frac{1}{R_{параллель}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]

Подставим известные значения:

\[ I_2 = 3,2 \, \text{А}, \quad U = 24 \, \text{В} \]

Таким образом:

\[ R_{параллель} = \frac{U}{I_2} = \frac{24 \, \text{В}}{3,2 \, \text{А}} = 7,5 \, \text{Ом} \]

Теперь у нас есть уравнение для параллельного соединения:

\[ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{7,5} \]

Шаг 2: Последовательное соединение

Когда резисторы подключены последовательно, у нас формула для силы тока:

\[ I_1 = \frac{U}{R_{последовательный}} \]

Сопротивление в последовательной цепи:

\[ R_{последовательный} = R_1 + R_2 \]

Подставим известные значения:

\[ I_1 = 0,6 \, \text{А} \]

Итак:

\[ R_{последовательный} = \frac{U}{I_1} = \frac{24 \, \text{В}}{0,6 \, \text{А}} = 40 \, \text{Ом} \]

Теперь у нас есть еще одно уравнение:

\[ R_1 + R_2 = 40 \]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{7,5}\)
2. \(R_1 + R_2 = 40\)

Из второго уравнения выражаем \(R_2\):

\[ R_2 = 40 - R_1 \]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{40 - R_1} = \frac{1}{7,5} \]

Умножим обе стороны уравнения на \(R_1(40 - R_1) \cdot 7,5\) для устранения дробей:

\[ 7,5(40 - R_1) + 7,5R_1 = R_1(40 - R_1) \]

Преобразуем уравнение:

\[ 300 - 7,5R_1 = 40R_1 - R_1^2 \]

Перепишем это в стандартной форме:

\[ R_1^2 - 47,5R_1 + 300 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-47,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D = 2265,25 - 1200 = 1065,25 \]

Теперь находим корни:

\[ R_1 = \frac{47,5 \pm \sqrt{1065,25}}{2} \] \[ R_1 \approx \frac{47,5 \pm 32,7}{2} \]

Корни:

1. \(R_1 \approx \frac{80,2}{2} = 40,1\)
2. \(R_1 \approx \frac{14,8}{2} = 7,4\)

Таким образом, \(R_1 \approx 40,1 \, \text{Ом}\) и \(R_2 \approx 7,4 \, \text{Ом}\), или наоборот.

Ответ

Сопротивления резисторов:

• \(R_1 \approx 40 \, \text{Ом}\)
• \(R_2 \approx 7,5 \, \text{Ом}\)

Если вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!