.2. На каждой клетке доски 9×9 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по диагонали клетки (клетки, имеющие только одну общую вершину). Докажите, что при этом хотя бы 9 клеток окажутся пустыми.

Для того чтобы решить эту задачу, рассмотрим доску 9×9 как квадраты, расположенные на координатной сетке. Пусть каждая клетка будет представлена парой координат (i, j), где i и j - целые числа от 1 до 9, соответствующие порядковым номерам строк и столбцов.

Каждый жук на клетке (i, j) может приземлиться только на клетки, которые находятся по диагонали из данной клетки. То есть он может переместиться на следующие клетки:

• (i-1, j-1)
• (i-1, j+1)
• (i+1, j-1)
• (i+1, j+1)

Прежде всего, давайте отметим, что каждая клетка имеет цвет в зависимости от ее позиции: если i+j четное, клетка черная, если нечетное - белая. На доске 9×9 у нас всего 81 клетка, из которых 41 клетка черная и 40 клеток белых.

При перемещении жуков на соседние по диагонали клетки, жуки из черных клеток могут приземлиться только на белые клетки, и наоборот. Это означает, что все жуки, которые были на черных клетках, могут занять только белые клетки, и наоборот.

Так как у нас 41 черная клетка и 40 белых клеток, после того как все жуки приземлются, хотя бы одна клетка черного цвета останется пустой, так как они не смогут занять все белые клетки. Таким образом, в результате этого перемещения, мы гарантированно можем ожидать, что хотя бы 9 клеток окажутся пустыми.

Таким образом, мы пришли к выводу, что при взлете всех жуков и их приземлении на соседние по диагонали клетки, по крайней мере 9 клеток на доске окажутся пустыми.