Сколько существует различных трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 14, а произведение цифр равно 72?
Чтобы определить, сколько существует различных трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 14, а произведение цифр равно 72, давайте сначала обозначим цифры трёхзначного числа как \( a \), \( b \) и \( c \). Здесь \( a \) — это сотни, \( b \) — десятки, и \( c \) — единицы. Поскольку число трёхзначное, \( a \) должно принимать значения от 1 до 9, а \( b \) и \( c \) — от 0 до 9.
Мы имеем две основные задачи:
- Сумма цифр: \( a + b + c = 14 \)
- Произведение цифр: \( a \times b \times c = 72 \)
Теперь давайте искать подходящие комбинации:
Шаг 1: Подбор возможных значений для \( a, b, c \)
Прежде чем продолжить, отметим, что \( a \) должно быть не менее 1 и не более 9. Запишем некоторые возможные значения для \( a \) и проверим, какие комбинации \( b \) и \( c \) удовлетворяют условиям суммы и произведения.
Перебирать значения \( a \) от 1 до 9:
\( a = 1 \):
- \( b + c = 13 \)
- \( b \times c = 72 \) → не подходит
\( a = 2 \):
- \( b + c = 12 \)
- \( b \times c = 36 \) → \( b, c = 6, 6 \) (число: 266)
\( a = 3 \):
- \( b + c = 11 \)
- \( b \times c = 24 \) → \( b, c = 8, 3 \) (числа: 383, 338)
\( a = 4 \):
- \( b + c = 10 \)
- \( b \times c = 18 \) → \( b, c = 9, 2 \) (числа: 492, 249)
\( a = 5 \):
- \( b + c = 9 \)
- \( b \times c = 14.4 \) → не подходит
\( a = 6 \):
- \( b + c = 8 \)
- \( b \times c = 12 \) → \( b, c = 6, 2 \) (числа: 662, 626, 216)
\( a = 7 \):
- \( b + c = 7 \)
- \( b \times c = 10.29 \) → не подходит
\( a = 8 \):
- \( b + c = 6 \)
- \( b \times c = 9 \) → \( b, c = 3, 3 \) (числа: 833)
\( a = 9 \):
- \( b + c = 5 \)
- \( b \times c = 8 \) → \( b, c = 4, 2 \) (числа: 942)
Теперь, рассмотрев все возможные варианты, давайте подытожим:
Шаг 2: Суммируем все подходящие числа
Подходящие числа:
- 266
- 338
- 383
- 492
- 249
- 662
- 626
- 216
- 833
- 942
Таким образом, мы имеем 10 различных трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 14, а произведение цифр равно 72.
