В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в…
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H ( t ) = H 0 − 2 g H 0 k t + g 2 k 2 t 2 H(t)=H 0 − 2gH 0 kt+ 2 g k 2 t 2 , где t t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 H 0 =20 м — начальная высота столба воды, k = 1 100 k= 100 1 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 g=10 м/с 2 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды
Давайте рассмотрим ситуацию. Мы знаем, что первоначальная высота столба воды в баке составляет \(H_0 = 20\) м, и нам нужно найти момент времени \(t\), когда высота столба воды уменьшится до четверти этой высоты.
Четверть первоначального объема воды соответствует высоте:
\[ H_{\text{н.}} = \frac{H_0}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{ м} \]
Таким образом, нам нужно решить уравнение:
\[ H(t) = H_0 - 2gH_0 kt + \frac{g}{2} k^2 t^2 = 5 \]
Подставим значения \(H_0 = 20\), \(g = 10\) и \(k = \frac{1}{100}\):
\[ 20 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{100} t + \frac{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{100}\right)^2 t^2 = 5 \]
Упрощаем:
\[ 20 - 40t + \frac{10}{2} \cdot \frac{1}{10000} t^2 = 5 \]
\[ 20 - 40t + \frac{5}{10000} t^2 = 5 \]
Переносим все в левую часть уравнения:
\[ \frac{5}{10000} t^2 - 40t + 20 - 5 = 0 \]
\[ \frac{5}{10000} t^2 - 40t + 15 = 0 \]
Теперь умножим все уравнение на \(10000\), чтобы избавиться от дробей:
\[ 5t^2 - 400000t + 150000 = 0 \]
Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 5\), \(b = -400000\), \(c = 150000\).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = (-400000)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 150000 \]
\[ D = 160000000000 - 3000000 = 159997000000 \]
Теперь найдем корни:
\[ t = \frac{400000 \pm \sqrt{159997000000}}{10} \]
Найдем \(\sqrt{159997000000}\):
\[ \sqrt{159997000000} \approx 399998.75 \]
Теперь подставим это значение:
\[ t = \frac{400000 \pm 399998.75}{10} \]
Рассмотрим положительное значение:
\[ t_{1} = \frac{400000 + 399998.75}{10} \approx \frac{799998.75}{10} \approx 79999.875 \text{ секунд} \]
Для отрицательного значения:
\[ t_{2} = \frac{400000 - 399998.75}{10} \approx 0.125 \text{ секунд} \]
Таким образом, более реалистичный корень для того, чтобы вода оставалась в баке на уровне 5 метров, равен \(t \approx 0.125\) секунд, либо \(t \approx 0.12\) секунд (до четырех знаков после запятой).
Итак, ответ: В баке останется четверть первоначального объёма воды приблизительно через 0.12 секунд после открытия крана.
