Вычислить направления: Lim x стремиться к -2 3x^2+5x-2/x^2+x-2

Чтобы найти предел функции \(\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{x^2 + x - 2}\), начнем с подстановки \(x = -2\) в числитель и знаменатель:

1. Числитель: \(3(-2)^2 + 5(-2) - 2\) \[ = 3(4) - 10 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0 \]

2. Знаменатель: \((-2)^2 + (-2) - 2\) \[ = 4 - 2 - 2 = 0 \]

Мы видим, что и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, поэтому мы имеем неопределенность типа \(\frac{0}{0}\) и можем применить факторизацию или правило Лопиталя.

Факторизация

Числитель: \(3x^2 + 5x - 2\)

Находим корни уравнения \(3x^2 + 5x - 2 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{6} = -2 \]

Таким образом, \(3x^2 + 5x - 2 = 3(x + 2)(x - \frac{1}{3})\).

Знаменатель: \(x^2 + x - 2\)

Корни уравнения: \[ D = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \] Знаменатель можно записать как \((x + 2)(x - 1)\).

Теперь подставим факторизации в предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{3(x + 2)(x - \frac{1}{3})}{(x + 2)(x - 1)} \]

После сокращения \((x + 2)\) (так как \(x \to -2\), но не равен -2): \[ = \lim_{x \to -2} \frac{3(x - \frac{1}{3})}{x - 1} \]

Теперь подставляем \(x = -2\): \[ = \frac{3(-2 - \frac{1}{3})}{-2 - 1} = \frac{3(-\frac{6}{3} - \frac{1}{3})}{-3} = \frac{3(-\frac{7}{3})}{-3} \] Упрощаем: \[ = \frac{3 \cdot -\frac{7}{3}}{-3} = \frac{-7}{-1} = 7 \]

Таким образом, предел равен: \[ \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{x^2 + x - 2} = 7 \]