Задуманы два натуральных числа. найдите эти числа, если их произведение равно 48, а и сумма равна 16
Решим задачу шаг за шагом.
Мы знаем, что два натуральных числа, обозначим их как \(x\) и \(y\), удовлетворяют двум условиям:
- \(x \cdot y = 48\) (произведение равно 48)
- \(x + y = 16\) (сумма равна 16)
Сначала можно выразить одно число через другое. Из второго уравнения выразим \(y\): \[ y = 16 - x \]
Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \[ x \cdot (16 - x) = 48 \]
Раскроем скобки: \[ 16x - x^2 = 48 \]
Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]
Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -16\), \(c = 48\).
Подставим значения: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 \] \[ D = 256 - 192 \] \[ D = 64 \]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm 8}{2} \]
Таким образом, у нас есть два варианта:
- \( x = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
- Если \(x = 12\), то \(y = 16 - 12 = 4\).
- Если \(x = 4\), то \(y = 16 - 4 = 12\).
Таким образом, два натуральных числа, произведение которых равно 48, а сумма 16, это \(4\) и \(12\).
