Вычислить пределы числовых последовательностей

Привет! Давай разберемся, как вычислить этот предел.

Тебе нужно найти предел последовательности, где выражение имеет вид: ((n + 3) / (n + 5))^(n + 4) при n стремящемся к бесконечности.

1. Сначала упростим выражение внутри скобок: Разделим числитель и знаменатель на n: (1 + 3/n) / (1 + 5/n).

   При n стремящемся к бесконечности 3/n и 5/n стремятся к 0, поэтому: (1 + 3/n) / (1 + 5/n) приближается к 1.

2. Перепишем выражение с учетом предела: lim (n→∞) (((1 + 3/n) / (1 + 5/n))^(n + 4)).

3. Переписываем в виде экспоненты: Используем формулу: (1 + x)^n ≈ e^(nx), если x стремится к 0. Таким образом: n * ln((1 + 3/n) / (1 + 5/n)) приблизительно равно e^(ln(1)) = e^0 = 1.

   • Разложим ln((1 + 3/n) / (1 + 5/n)) по формуле ln(a/b) = ln(a) - ln(b): Это будет (ln(1 + 3/n) - ln(1 + 5/n)).

4. Применим разложение в ряд Тейлора: ln(1 + x) ≈ x при x стремящемся к 0. Поэтому ln(1 + 3/n) ≈ 3/n и ln(1 + 5/n) ≈ 5/n.

   Разница: 3/n - 5/n = -2/n.

5. Подставим в предел: n * (-2/n) = -2.

На выходе выражение стремится к e^(-2).

Предел: e^(-2).

Надеюсь, это помогло! Если что-то неясно, дай знать.