Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала найдем скорость работы каждого из мальчиков. Обозначим скорость работы Игоря как \(I\), Паши как \(P\) и Володи как \(W\).

1. Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Это означает, что их совместная скорость равна: \[ I + P = \frac{1}{18} \quad \text{(часть забора, окрашиваемая в час)} \]

2. Паша и Володя красят забор за 20 часов, их совместная скорость: \[ P + W = \frac{1}{20} \]

3. Володя и Игорь красят забор за 30 часов, их совместная скорость: \[ W + I = \frac{1}{30} \]

Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} I + P = \frac{1}{18} \\ P + W = \frac{1}{20} \\ W + I = \frac{1}{30} \end{cases} \]

Давайте сложим все три уравнения: \[ (I + P) + (P + W) + (W + I) = \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \] Это упростится до: \[ 2I + 2P + 2W = \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \]

Теперь вычислим правую часть. Находим общий знаменатель для дробей 18, 20 и 30. Общий знаменатель равен 180. Преобразуем дроби: \[ \frac{1}{18} = \frac{10}{180}, \quad \frac{1}{20} = \frac{9}{180}, \quad \frac{1}{30} = \frac{6}{180} \] Теперь складываем: \[ \frac{10 + 9 + 6}{180} = \frac{25}{180} = \frac{5}{36} \]

Подставим это в наше уравнение: \[ 2I + 2P + 2W = \frac{5}{36} \]

Теперь делим обе стороны на 2: \[ I + P + W = \frac{5}{72} \]

Таким образом, совместная скорость работы всех троих мальчиков составляет \(\frac{5}{72}\) части забора в час.

Теперь найдем, сколько времени им потребуется, чтобы покрасить забор полностью. Чтобы найти время, нужно перевернуть дробь: \[ T = \frac{1}{\frac{5}{72}} = \frac{72}{5} \text{ часов} = 14.4 \text{ часа} \]

Теперь переведем это время в минуты: \[ T \text{ в минутах} = 14.4 \times 60 = 864 \text{ минут} \]

Таким образом, мальчики покрасят забор, работая втроем, за 864 минуты.