Построй графин функции у= |-x²-6x-6| определи, при каких значениях прямая y=m имеет с графиком ровно 3 общие точки.

Чтобы построить график функции \( y = | -x^2 - 6x - 6 | \), сначала рассмотрим функцию без модуля: \( f(x) = -x^2 - 6x - 6 \). Это парабола, открытая вниз. Для нахождения её вершины воспользуемся формулой для абсциссы вершины параболы \( x_v = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = -6 \):

\[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3. \]

Теперь подставим это значение в функцию, чтобы найти ординату вершины:

\[ f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 6 = -9 + 18 - 6 = 3. \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-3, 3) \). Парабола будет пересекать ось \( y \) в точке \( y = -6 \) (так как при \( x = 0 \), \( f(0) = -6 \)) и будет иметь два корня, которые можно найти с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения \( -x^2 - 6x - 6 = 0 \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 36 - 24 = 12. \]

Корни уравнения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{-2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{-2}. \]

Таким образом, корни:

\[ x_1 = -3 - \sqrt{3}, \quad x_2 = -3 + \sqrt{3}. \]

Теперь, вернёмся к функции с модулем: \( y = | -x^2 - 6x - 6 | \). График будет симметричен относительно оси \( x \) в области, где \( f(x) < 0 \).

Чтобы определить, при каких значениях \( y = m \) прямая пересекает график функции в ровно трех точках, необходимо учитывать, что прямая должна пересекать параболу, а также её отражение в оси \( x \) в области, где парабола ниже оси \( x \).

Парабола ниже оси \( x \) между корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). Мы ищем значение \( m \), для которого прямая пересекает график функции. Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три пересечения с графиком функции, она должна касаться параболы в одной точке и пересекать её в двух других. Это происходит в том случае, когда:

1. \( m = 0 \) (прямая касается в вершине \( (-3, 0) \)).
2. \( m \) должно быть меньше 3 (парабола на максимуме).

Таким образом, значения \( m \) должны находиться в интервале \( (-\infty, 3) \), где прямая пересекает график ровно в трех точках, если \( m = 0 \) и в других точках, находясь ниже вершины \( y = 3 \).

Подводя итог, прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки с графиком функции при \( m < 3 \).