Построй графин функции у= |1x²+2x-1| определи, при каких значениях прямая y=m имеет с графиком ровно 3 общие точки.
Для начала, давайте разберем функцию \( y = |1x^2 + 2x - 1| \).
Определение функции: Функция под модулем — это квадратичная функция \( f(x) = 1x^2 + 2x - 1 \). Мы можем найти корни этой функции, решив уравнение \( 1x^2 + 2x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \( D \) определяется как: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8. \] Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни с помощью формулы корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}. \]
То есть, корни функции \( f(x) \) это \( x_1 = -1 - \sqrt{2} \) и \( x_2 = -1 + \sqrt{2} \).
Построение графика: График функции \( y = f(x) \) будет параболой, которая открывается вверх и пересекает горизонтальную ось в точках \( x_1 \) и \( x_2 \). Поскольку у нас есть модуль, график функции \( y = |f(x)| \) будет находиться выше оси \( x \) и иметь "горбы" в точках пересечения.
Находим прямую \( y = m \): Теперь давайте рассмотрим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекать график функции \( y = |f(x)| \) ровно в 3 точках.
Прямая может пересекаться с графиком в двух случаях:
- Она проходит над осью \( x \) и касается графика в одной из вершин (соответственно, у нее 1 касательная точка), а также пересекает график в другой точке, что дает в итоге 3 точки.
- Пересекает график в двух точках по одну сторону и в одной касательной на другом "горбе".
Определим значение \( m \): Касательная к графику будет идти на уровне минимума функции \( f(x) \). Чтобы найти минимум, можем использовать производную \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x + 2. \]
Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку минимума: \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1. \]
Подставив \( x = -1 \) в функцию \( f(x) \): \[ f(-1) = 1(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2. \]
Так как у нас модуль, минимум \( |f(x)| \) будет равен 2 (так как \( | -2 | = 2 \)).
Для осуществления пересечения в ровно 3 точки, прямая \( y = m \) должна находиться на уровне, чуть ниже минимума:
\[ 0 < m < 2. \]
Таким образом, прямая может пересекать график функции ровно в 3 точках для всех значений \( m \) в интервале \( (0, 2) \).
