1) Запишите свойства операций над множествами: переместительный закон, дополнения. 2) В параллели 6-ых классов 90 учеников. Одиннадцать учеников участвовали B прыжках, 15 в соревнованиях по бегу, 14 в метании. Шесть учеников участвовали в прыжках и беге, 8 в беге и метании, 7-в прыжках и метании. Bo всех трех соревнованиях участвовали только три ученика. Сколько учеников приняли участие только в беге? 3) Постройте на диаграмме Эйлера-Венна (пересечение множеств не пустое): (AUB)\C

1. Свойства операций над множествами:

• Переместительный закон: Для любых множеств A и B выполняется:
  \( A \cup B = B \cup A \) (для объединения)
  \( A \cap B = B \cap A \) (для пересечения)
  Это означает, что порядок, в котором мы объединяем или пересекаем множества, не имеет значения — результат будет одинаковым.

• Закон дополнения: Если A — это множество, то дополнение A, обозначаемое как \( A' \) или \( \bar{A} \), включает все элементы, которые не принадлежат множеству A.
  Например, если U — универсальное множество (все возможные элементы), то:
  \( A \cup A' = U \)
  \( A \cap A' = \emptyset \) (пересечение A и его дополнения пусто).

2. Для решения задачи о количестве учеников, участвующих только в беге, воспользуемся принципом включения-исключения.

Обозначим:

• \( A \) — количество учеников, участвующих в прыжках (11 учеников),
• \( B \) — количество учеников, участвующих в беге (15 учеников),
• \( C \) — количество учеников, участвующих в метании (14 учеников),
• \( |A \cap B| = 6 \) — ученики, участвующие в прыжках и беге,
• \( |B \cap C| = 8 \) — ученики, участвующие в беге и метании,
• \( |A \cap C| = 7 \) — ученики, участвующие в прыжках и метании,
• \( |A \cap B \cap C| = 3 \) — ученики, участвующие во всех трех соревнованиях.

Теперь можно найти количество учеников, участвующих только в беге. Используем формулу включения-исключения:

1. Найдем общее количество учеников, участвующих по крайней мере в одном соревновании. \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

   Подставим известные значения: \[ |A \cup B \cup C| = 11 + 15 + 14 - 6 - 8 - 7 + 3 = 22 \]

2. Теперь найдем количество учеников, участвующих только в беге. Для этого посчитаем: \[ |B| - (|A \cap B| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) \] \[ = 15 - (6 + 8 - 3) = 15 - 11 = 4 \]

Таким образом, 4 ученика принимали участие только в беге.

3. Для построения диаграммы Эйлера-Венна для выражения \( (A \cup B) \setminus C \) нам нужно:

• Начертить два круга, которые пересекаются, представляющие множества A и B.
• Обозначить часть, которая принадлежит обоим множествам, как их пересечение.
• Затем, чтобы получить \( (A \cup B) \setminus C \), нам нужно вычесть область, которая принадлежит множеству C, из объединения A и B.

На диаграмме будет:

• Область, представляющая только A,
• Область, представляющая только B,
• Пересечение A и B,
• Части, относящиеся к C, будут исключены.

Таким образом, лабораторная работа с диаграммой будет завершена, показывая, как взаимодействуют множества без элементов из C.