Найди площадь треугольника  M N K MNK, в котором  ∠ M = 45 ° ∠M=45°, из точки  N N проведена высота  N Q NQ, при этом  M Q = 5 MQ=5 мм,  Q K = 8 QK=8 мм.

Для нахождения площади треугольника \(MNK\), в котором \(\angle M = 45^\circ\), мы можем использовать высоту, проведённую из точки \(N\) на сторону \(MK\).

Сначала заметим, что высота \(NQ\) делит треугольник на два прямоугольных треугольника: \(MNQ\) и \(NKQ\). Поскольку мы знаем длины отрезков \(MQ\) и \(QK\), можем найти общую длину основания \(MK\):

\[ MK = MQ + QK = 5 \, \text{мм} + 8 \, \text{мм} = 13 \, \text{мм}. \]

Теперь используем формулу для высоты в треугольнике с известным углом: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \] где \(a\) и \(b\) — это стороны, которые образуют угол \(C\).

Сначала найдем, как высота \(NQ\) соотносится со стороной \(MK\). Поскольку \(\angle M = 45^\circ\), высота \(NQ\) будет равна \(MQ \cdot \tan(45^\circ) = MQ\), так как \(\tan(45^\circ) = 1\). Таким образом:

\[ NQ = MQ = 5 \, \text{мм}. \]

Теперь можем рассчитать площадь треугольника \(MNK\):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 13 \, \text{мм} \cdot 5 \, \text{мм} = \frac{65}{2} \, \text{мм}^2 = 32.5 \, \text{мм}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника \(MNK\) составляет \(32.5 \, \text{мм}^2\).