Метод Крамера 2x+3y-z=9 -x+y+2z=-4 x-4y-3z=1

Метод Крамера — это способ решения систем линейных уравнений с использованием детерминантов. Он применяется, когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, и определитель системы не равен нулю.

Давайте решим систему уравнений с использованием метода Крамера для вашего случая:

1. У нас есть система: \[ \begin{align*} 2x + 3y - z &= 9 \quad (1) \\ -x + y + 2z &= -4 \quad (2) \\ x - 4y - 3z &= 1 \quad (3) \end{align*} \]

2. Сначала составим матрицу коэффициентов \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -3 \end{pmatrix} \]

3. Найдем определитель матрицы \(A\) (\(D\)): \[ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -3 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \]

   Посчитаем каждое из этих определителей: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (2)(-4) = -3 + 8 = 5 \] \[ \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (2)(1) = 3 - 2 = 1 \] \[ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (-1)(-4) - (1)(1) = 4 - 1 = 3 \]

   Теперь подставим результат в формулу для \(D\): \[ D = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = 10 - 3 - 3 = 4 \]

4. Теперь находим определители \(D_x\), \(D_y\) и \(D_z\) для нахождения значений переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

   Для \(D_x\) заменим первый столбец \(A\) на столбец свободных членов: \[ D_x = \begin{vmatrix} 9 & 3 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -3 \end{vmatrix} = 9 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \] Посчитаем: \[ D_x = 9 \cdot 5 - 3(-12) - 1(15) = 45 + 36 - 15 = 66 \]

   Для \(D_y\) заменим второй столбец: \[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 9 & -1 \\ -1 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] Подсчитаем: \[ D_y = 2 \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 9 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] Посчитаем определители: \[ D_y = 2((-4)(-3) - (2)(1)) - 9(3 - 2) - 1(-1 + 4) = 2(12 - 2) - 9(1) - 1(3) = 2 \cdot 10 - 9 - 3 = 20 - 9 - 3 = 8 \]

   Для \(D_z\) заменим третий столбец: \[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 9 \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} \] Подсчитаем: \[ D_z = 2 \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 9 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \] Вычислим определители: \[ D_z = 2((-1)(1) - (-4)(-4)) - 3((-1)(1) - (-4)(1)) + 9((-1)(-4) - (1)(1)) \] \[ D_z = 2(-1 - 16) - 3(-1 + 4) + 9(4 - 1) = 2(-17) - 3(3) + 9(3) = -34 - 9 + 27 = -16 \]

5. Теперь найдем \( x, y, z \): \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{66}{4} = 16.5, \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{8}{4} = 2, \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-16}{4} = -4. \]

Таким образом, решение системы уравнений: \[ x = 16.5, \quad y = 2, \quad z = -4. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужен разбор других тем, пожалуйста, дайте знать!