1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника. 2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см. 3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности. 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Давайте разберем ваши задачи по очереди.

1. Углы правильного тридцатишестиугольника: Формула для вычисления угла при вершине правильного многоугольника с \(n\) сторонами: \[ \text{Угол} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}. \] В нашем случае \(n = 36\): \[ \text{Угол} = \frac{(36-2) \times 180^\circ}{36} = \frac{34 \times 180^\circ}{36} = 170^\circ. \] Таким образом, углы правильного тридцатишестиугольника равны \(170^\circ\).

2. Длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см: Длина окружности определяется формулой: \[ L = R \times 2\pi, \] где \(R\) — радиус окружности. Для правильного треугольника радиус описанной окружности \(R\) вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}, \] где \(a\) — сторона треугольника. Подставим \(a = 9\) см: \[ R = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}. \] Теперь можем найти длину окружности: \[ L = 3\sqrt{3} \times 2\pi = 6\pi\sqrt{3} \text{ см}. \]

3. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см: Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника: \[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}. \] Для правильного треугольника радиус описанной окружности: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}, \] где \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставим \(r = \frac{9\sqrt{3}}{2}\): \[ \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{27}{2} \text{ см}. \]

4. Сторона многоугольника и количество его сторон: Дано: радиус описанной окружности \(R = 8\sqrt{2}\) см и радиус вписанной окружности \(r = 8\) см. Используя формулы: \[ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}, \] \[ r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}. \] Из этих уравнений можем выразить сторону \(a\): \[ \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = 8\sqrt{2} \quad \text{и} \quad \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} = 8. \] Сравнив, получаем систему уравнений, из которой можно определить сторону и количество сторон. Быстро подсчитаем: Поделим одно уравнение на другое: \[ \frac{8\sqrt{2}}{8} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \Rightarrow \sqrt{2} = \cos\left(\frac{\pi}{n}\right), \] значит, \(\frac{\pi}{n} = 45^\circ \Rightarrow n = 8\). Теперь подставим \(n\) в \(a\): \[ a = 16\sqrt{2} \text{ см}. \]

5. Длины дуг в описанной окружности треугольника: Для треугольника со сторонами и углами 5 см, 45° и 105°, мы найдем длины дуг с помощью формулы: \[ L_{\text{дуга}} = R \cdot \theta, \] где \(\theta\) — угол в радианах. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно найти с помощью: \[ R = \frac{abc}{4S}, \] где \(S\) — площадь треугольника. Сначала найдем площадь: \[ S = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(105^\circ). \] Чтобы решить эту задачу, используем длины окружности для 45° и 105°: \[ L_{45^\circ} = R \cdot \frac{\pi}{4}, \quad L_{105^\circ} = R \cdot \frac{7\pi}{12}. \] Произведите вычисления для поиска этих значений.

Надеюсь, это поможет вам в подготовке! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.