Найди площадь треугольника  M N K MNK, в котором  ∠ M = 45 ° ∠M=45°, из точки  N N проведена высота  N Q NQ, при этом  M Q = 7 MQ=7 мм,  Q K = 6 QK=6 мм.

Чтобы найти площадь треугольника \( MNK \), можно воспользоваться формулой для площади треугольника через основание и высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]

В данном случае высота \( NQ \) будет перпендикулярной к основанию \( MK \). Мы знаем, что \( MQ = 7 \) мм и \( QK = 6 \) мм. Таким образом, длина основания \( MK \) равна:

\[ MK = MQ + QK = 7 + 6 = 13 \, \text{мм} \]

Теперь мы можем найти высоту \( NQ \). Так как угол \( \angle M = 45° \), это означает, что треугольник \( MNQ \) является прямоугольным, и высота \( NQ \) является одной из сторон. В этом случае, мы можем использовать свойства угла 45°.

В треугольнике с углом в 45° и равными катетами, высота \( NQ \) будет равна длине одного из катетов. Чтобы найти высоту, воспользуемся соотношением в прямоугольном треугольнике:

Поскольку \( MQ = 7 \) мм, это также будет длина высоты \( NQ \):

\[ NQ = MQ \cdot \sin(45°) = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \, \text{мм} \]

Теперь подставим значения в формулу для нахождения площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 4.95 \approx 32.25 \, \text{мм}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) составляет приблизительно \( 32.25 \, \text{мм}^2 \).