Дано ctg t=-5/12 где П/2
Чтобы решить задачу с уравнением \( \cot t = -\frac{5}{12} \) в интервале \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \), начнем с определения тригонометрических функций.
Находим sin t и cos t: Используем соотношение для угла \( t \): \[ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} \] Таким образом, у нас есть: \[ \frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{5}{12} \] Обозначим \( \sin t = y \) и \( \cos t = x \). Тогда: \[ x = -\frac{5}{12}y \]
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] Подставим \( x \) в это уравнение: \[ y^2 + \left(-\frac{5}{12}y\right)^2 = 1 \] Упрощаем: \[ y^2 + \frac{25}{144}y^2 = 1 \] Соберем подобные: \[ \left(1 + \frac{25}{144}\right)y^2 = 1 \] \[ \frac{169}{144}y^2 = 1 \] Поэтому: \[ y^2 = \frac{144}{169} \] \[ y = \pm \frac{12}{13} \] Поскольку \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \), то \( \sin t \) будет положительным: \[ \sin t = \frac{12}{13} \]
Находим cos t: Подставим значение \( y \) обратно, чтобы найти \( \cos t \): \[ \cos t = -\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13} \]
Теперь находим tg t: Используем соотношение: \[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} \] Подставим значения: \[ \tan t = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} \]
В итоге мы получили:
- \( \sin t = \frac{12}{13} \)
- \( \cos t = -\frac{5}{13} \)
- \( \tan t = -\frac{12}{5} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, с радостью помогу!
