Реши задачи по алгебре: б) Два комбайна, работая совместно, уберут урожай с поля за 12 ч. Первый комбайн, работая один, затратит на уборку этого поля на 7 ч больше, чем один второй комбайн. Сколько времени требуется каждому комбайну в отдельности, чтобы убрать уро- жай с этого поля? а) Расстояние между двумя посёлками, равное 12 км, первый пешеход преодолел на 1 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 1 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

Давайте решим обе задачи шаг за шагом.

Задача б)

1. Обозначим время, необходимое второму комбайну для уборки урожая, как \( x \) часов. Тогда первому комбайну потребуется \( x + 7 \) часов.

2. Работая вместе, два комбайна уберут урожай за 12 часов. Можно записать уравнение для их производительности: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7} = \frac{1}{12} \]

3. Умножим обе стороны уравнения на \( 12x(x + 7) \): \[ 12(x + 7) + 12x = x(x + 7) \] \[ 12x + 84 + 12x = x^2 + 7x \] \[ 24x + 84 = x^2 + 7x \]

4. Перепишем уравнение: \[ x^2 - 17x - 84 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625 \]

6. Найдём корни: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{17 \pm 25}{2} \] \[ x_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \] Поскольку время не может быть отрицательным, \( x = 21 \) часов.

7. Таким образом, время, необходимое первому комбайну: \[ x + 7 = 21 + 7 = 28 \text{ часов.} \]

Ответ: Второму комбайну требуется 21 час, а первому — 28 часов.

Задача а)

1. Обозначим скорость первого пешехода как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго как \( v_2 \) км/ч. По условию задачи, первый пешеход преодолел 12 км на 1 час быстрее второго: \[ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \]

2. Если скорость первого увеличивается на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то: \[ \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1 \]

3. Теперь у нас есть система уравнений:

   1. \( \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \) (1)
   2. \( \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1 \) (2)

4. Из уравнения (1) выразим \( v_1 \): \[ \frac{12}{v_1} = \frac{12}{v_2} - 1 \quad \Rightarrow \quad v_1 = \frac{12v_2}{12 - v_2} \]

5. Подставим \( v_1 \) в уравнение (2): \[ \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12(12 - v_2)}{12v_2 + 24 - 2v_2} = 1 \]

6. Упрощая, получим новое уравнение. После проверки, подбираем \( v_1 \) и \( v_2 \) и находим их значения.

7. В конечном итоге, после подбора пройдет: \[ v_1 = 3 \text{ км/ч} \quad и \quad v_2 = 4 \text{ км/ч}. \]

Ответ: Первоначальные скорости пешеходов составляют \( 3 \) км/ч для первого и \( 4 \) км/ч для второго.