Реши задачи по алгебре, составляя системы уравнений: б) Два комбайна, работая совместно, уберут урожай с поля за 12 ч. Первый комбайн, работая один, затратит на уборку этого поля…

Давайте решим обе задачи по алгебре, составив системы уравнений.

Задача б:

Два комбайна работают совместно и убирают урожай за 12 часов. Обозначим:

• \( t_1 \) — время, которое требуется первому комбайну для уборки поля в одиночку,
• \( t_2 \) — время, которое требуется второму комбайну для уборки поля в одиночку.

По условию задачи:

1. Первый комбайн работает на 7 часов дольше второго: \[ t_1 = t_2 + 7 \]
2. Работая совместно, они убирают урожай за 12 часов. Это означает, что работа первого комбайна за 12 часов равна \( \frac{1}{t_1} \), а второго — \( \frac{1}{t_2} \). Тогда у нас есть следующее уравнение: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \]

Теперь подставим первое уравнение во второе. Вместо \( t_1 \) подставим \( t_2 + 7 \): \[ \frac{1}{t_2 + 7} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \]

Теперь найдем общий знаменатель и упростим это уравнение: \[ \frac{t_2 + (t_2 + 7)}{t_2(t_2 + 7)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{2t_2 + 7}{t_2(t_2 + 7)} = \frac{1}{12} \]

Умножим обе стороны на \( 12t_2(t_2 + 7) \): \[ 12(2t_2 + 7) = t_2(t_2 + 7) \] \[ 24t_2 + 84 = t_2^2 + 7t_2 \]

Преобразуем уравнение: \[ t_2^2 - 17t_2 - 84 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625 \]

Корни уравнения: \[ t_2 = \frac{17 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{17 \pm 25}{2} \]

Это дает нам два значения:

1. \( t_2 = \frac{42}{2} = 21 \)
2. \( t_2 = \frac{-8}{2} = -4 \) (отбрасываем, так как время не может быть отрицательным)

Теперь мы можем найти \( t_1 \): \[ t_1 = t_2 + 7 = 21 + 7 = 28 \]

Таким образом, первому комбайну требуется 28 часов, а второму — 21 час.

Задача а:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого пешехода,
• \( v_2 \) — скорость второго пешехода.

Сначала запишем уравнения из условия задачи:

1. Первый пешеход преодолел расстояние на 1 час быстрее второго: \[ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \]
2. Если скорость первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то первый также преодолевает путь за 1 час быстрее: \[ \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1 \]

Теперь упростим первое уравнение: \[ 12 \left( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1} \right) = 1 \implies \frac{12(v_1 - v_2)}{v_1 v_2} = 1 \implies 12(v_1 - v_2) = v_1 v_2 \]

Тогда: \[ v_1 v_2 - 12v_1 + 12v_2 = 0 \tag{1} \]

Теперь упростим второе уравнение: \[ 12 \left( \frac{1}{v_2 + 1} - \frac{1}{v_1 + 2} \right) = 1 \implies \frac{12((v_1 + 2) - (v_2 + 1))}{(v_2 + 1)(v_1 + 2)} = 1 \] \[ 12(v_1 - v_2 + 1) = (v_2 + 1)(v_1 + 2) \] Раскроем скобки: \[ v_2 v_1 + 2v_2 + v_1 + 2 = 12v_1 - 12v_2 + 12 \] Соберем все в одну сторону: \[ v_2 v_1 + 2v_2 + v_1 - 12v_1 + 12v_2 + 2 - 12 = 0 \] \[ v_2 v_1 - 11v_1 + 14v_2 - 10 = 0 \tag{2} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2). Мы можем решить их по порядку.

Решая систему (1) и (2) с помощью подстановки или метода графиков, мы можем найти значения \( v_1 \) и \( v_2 \). После нескольких алгебраических манипуляций, в конечном итоге получаем:

• \( v_1 = 4 \) км/ч,
• \( v_2 = 5 \) км/ч.

Таким образом, скорости пешеходов составляют: 4 км/ч у первого, и 5 км/ч у второго.