площадь прямоугольного треугольника равна 12 см в квадрате А сумма его катетов равна 10 см Найдите катеты
Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная площадь и сумму катетов, можно использовать информацию о площади и теорему Пифагора.
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) – это длины катетов.
В нашем случае площадь равна 12 см², то есть: \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 12 \] Умножим обе стороны на 2: \[ a \cdot b = 24 \] (1)
Также нам дано, что сумма катетов равна 10 см: \[ a + b = 10 \] (2)
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем выразить один катет через другой с помощью уравнения (2): \[ b = 10 - a \]
Подставим это выражение для \( b \) в уравнение (1): \[ a \cdot (10 - a) = 24 \] Раскроем скобки: \[ 10a - a^2 = 24 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 10a + 24 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \]
Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm 2}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( a \): \[ a_1 = \frac{12}{2} = 6 \] \[ a_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Таким образом, у нас два случая:
- Если \( a = 6 \), тогда \( b = 10 - 6 = 4 \).
- Если \( a = 4 \), тогда \( b = 10 - 4 = 6 \).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 4 см.
