Рассмотрим каждый из предоставленных вариантов ответов на правильность объяснения:
НИ У КАКОГО — действительно, "НИ" с определительным местоимением пишется раздельно. Этот вариант правильный.
(дуб) МОГУЧ — тут неверно, так как в кратких прилагательных на шипящие (например, СТЕПЬ, СТУПЬ) после шипящих действительно пишется мягкий знак (Ь). Этот вариант неправильный.
НЕНАСТНАЯ (погода) — прилагательное действительно пишется слитно с НЕ, если его можно заменить синонимом: "плохая погода". Этот вариант правильный.
БАБОЧКА — в сочетании ЧК буква Ь не пишется, что неверно. В данном случае, мягкий знак (Ь) действительно пишется (необходимо сохранить мягкость предыдущего согласного). Этот вариант неправильный.
РОЗЫГРЫШ — после русской приставки, оканчивающейся на согласный, действительно пишется буква Ы, так как речь идет о приставке "РОЗ". Этот вариант правильный.
Таким образом, правильные варианты ответов: 1, 3 и 5.