Для решения задачи обозначим:
- ( m_1 = 10 ) кг — масса первого раствора.
- ( m_2 = 16 ) кг — масса второго раствора.
- ( c_1 ) — концентрация кислоты в первом растворе (в процентах).
- ( c_2 ) — концентрация кислоты во втором растворе (в процентах).
- Сначала рассмотрим ситуацию, когда оба раствора сливаются вместе.
Общая масса раствора:
[
M = m_1 + m_2 = 10 + 16 = 26 \text{ кг}
]
Суммарное количество кислоты в полученном растворе:
[
Q = m_1 \cdot \frac{c_1}{100} + m_2 \cdot \frac{c_2}{100}
]
При смешивании получаем 55% кислоты, поэтому:
[
Q = 26 \cdot 0.55 = 14.3 \text{ кг кислоты}
]
Таким образом, у нас получается уравнение:
[
10 \cdot \frac{c_1}{100} + 16 \cdot \frac{c_2}{100} = 14.3
]
- Теперь рассмотрим ситуацию с равными массами растворов.
Пусть мы сливаем по ( x ) кг каждого раствора. Тогда общий объем раствора его будет ( 2x ) кг.
Количество кислоты в первом растворе:
[
Q_1 = x \cdot \frac{c_1}{100}
]
Количество кислоты во втором растворе:
[
Q_2 = x \cdot \frac{c_2}{100}
]
Согласно условию, получаем 61% кислоты:
[
Q_1 + Q_2 = 2x \cdot 0.61
]
Записываем уравнение:
[
x \cdot \frac{c_1}{100} + x \cdot \frac{c_2}{100} = 2x \cdot 0.61
]
Сократим ( x ):
[
\frac{c_1}{100} + \frac{c_2}{100} = 1.22
]
Или
[
c_1 + c_2 = 122 \text{ (1)}
]
Теперь у нас есть система двух уравнений:
- ( 10 \cdot \frac{c_1}{100} + 16 \cdot \frac{c_2}{100} = 14.3 ) (2)
- ( c_1 + c_2 = 122 ) (1)
Из первого уравнения (умножим на 100):
[
10c_1 + 16c_2 = 1430 \text{ (3)}
]
Теперь подставим выражение ( c_2 = 122 - c_1 ) из уравнения (1) в уравнение (3):
[
10c_1 + 16(122 - c_1) = 1430
]
Раскроем скобки:
[
10c_1 + 1952 - 16c_1 = 1430
]
Преобразуем это уравнение:
[
-6c_1 + 1952 = 1430
]
[
-6c_1 = 1430 - 1952
]
[
-6c_1 = -522
]
[
c_1 = \frac{522}{6} = 87 \text{ (первый раствор содержит 87% кислоты)}
]
Теперь, подставив ( c_1 ) в уравнение (1), найдем ( c_2 ):
[
87 + c_2 = 122
]
[
c_2 = 122 - 87 = 35 \text{ (второй раствор содержит 35% кислоты)}
]
Итак, концентрация кислоты в первом растворе составляет 87%.
