решите неравенство параболой 5хв квадрате + 3х-8>0
Чтобы решить неравенство \(5x^2 + 3x - 8 > 0\) с использованием параболы, следуем следующим шагам:
Найдем корни квадратного уравнения: Для этого воспользуемся формулой дискриминанта. У нас есть общее уравнение \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 5\), \(b = 3\), \(c = -8\).
Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169. \]
Поскольку дискриминант положителен, значит, у уравнения есть два различных корня. Их найдем по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-3 \pm \sqrt{169}}}{{10}} = \frac{{-3 \pm 13}}{{10}}. \]
Это дает нам: \[ x_1 = \frac{{10}}{{10}} = 1, \quad x_2 = \frac{{-16}}{{10}} = -1.6. \]
Нарисуем параболу: Парабола, заданная уравнением \(5x^2 + 3x - 8\), открывается вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положителен).
Определим интервалы и знаки: Корни параболы \(x = -1.6\) и \(x = 1\) делят числовую ось на три интервала:
- \(x < -1.6\)
- \(-1.6 < x < 1\)
- \(x > 1\)
Проверим знак функции на каждом интервале:
Для \(x < -1.6\) (например, \(x = -2\)): \[ 5(-2)^2 + 3(-2) - 8 = 20 - 6 - 8 = 6 > 0. \] Здесь функция положительна.
Для \(-1.6 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ 5(0)^2 + 3(0) - 8 = -8 < 0. \] Здесь функция отрицательна.
Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \[ 5(2)^2 + 3(2) - 8 = 20 + 6 - 8 = 18 > 0. \] Здесь функция положительна.
Запишем решение: Мы ищем, где функция больше нуля: \[ x < -1.6 \quad \text{или} \quad x > 1. \]
Следовательно, решение неравенства \(5x^2 + 3x - 8 > 0\) записывается в интервалах: \[ (-\infty, -1.6) \cup (1, +\infty). \]
Эти интервал определяют значения \(x\), при которых неравенство выполняется.
