sin(2x-п/4)=1/2

Для решения уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \) нам нужно найти значения переменной \( x \).

1. Определим аргумент синуса: У нас есть уравнение вида \( \sin(y) = \frac{1}{2} \), где \( y = 2x - \frac{\pi}{4} \).

2. Найдём основные решения: Зная, что синус равен \( \frac{1}{2} \) на интервалах, \( y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (где \( k \) - любое целое число), получаем два уравнения: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

3. Решим каждое из уравнений для \( x \):

   Первое уравнение: \[ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

   Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Итак, \[ 2x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \] Делим на 2: \[ x = \frac{5\pi}{24} + k\pi \]

   Второе уравнение: \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

   Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \] Тогда, \[ 2x = \frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{13\pi}{12} + 2k\pi \] Делим на 2: \[ x = \frac{13\pi}{24} + k\pi \]

4. Итоговые решения: Таким образом, общее решение уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \) можно записать как: \[ x = \frac{5\pi}{24} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{13\pi}{24} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Эти выражения дают все возможные решения уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!