(x^2-9)^2+(x^2-8x+15)^2=0

Для решения уравнения \((x^2-9)^2+(x^2-8x+15)^2=0\) необходимо понять, что сумма квадратов равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю.

1. Первое слагаемое: \( (x^2 - 9)^2 = 0 \)
   Это уравнение равносильно \(x^2 - 9 = 0\).
   Решим его:
   \(x^2 = 9\)
   \(x = 3\) или \(x = -3\).

2. Второе слагаемое: \( (x^2 - 8x + 15)^2 = 0 \)
   Это уравнение равносильно \(x^2 - 8x + 15 = 0\).
   Решим его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\). Подставим эти значения:
   \(x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}\)
   \(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}\)
   \(x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}\)
   \(x = \frac{8 \pm 2}{2}\)
   Таким образом, мы получаем два корня:
   \(x = \frac{10}{2} = 5\) и \(x = \frac{6}{2} = 3\).

Теперь, чтобы уравнение \((x^2-9)^2+(x^2-8x+15)^2\) равнялось нулю, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно.

Решения у нас следующие:

• Из первого уравнения: \(x = 3\) и \(x = -3\).
• Из второго уравнения: \(x = 3\) и \(x = 5\).

Таким образом, единственное общее решение — это \(x = 3\).

Ответ: \(x = 3\).