Вычислить объем тела, образованного вращением вокр оси Ох фигуры, ограниченной данными линиями.Параболой y = 4x - x ^ 2 и прямыми y = 0 x = 0 x = 3 сделай график
Чтобы вычислить объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, нам сначала нужно понять, какую область мы рассматриваем. Данная область ограничена параболой \(y = 4x - x^2\) и прямыми \(y = 0\) (ось Ox), \(x = 0\) и \(x = 3\).
Найдем точки пересечения параболы и оси Ox. Мы уравниваем параболу с нулем: \[ 4x - x^2 = 0 \] Выносим общий множитель: \[ x(4 - x) = 0 \] Это дает нам \(x = 0\) и \(x = 4\). Однако, поскольку у нас есть граница \(x = 3\), интересующая нас область будет от \(x = 0\) до \(x = 3\).
Найдем значение функции в \(x = 3\), чтобы убедиться, что парабола выше оси Ox в этом диапазоне: \[ y = 4(3) - (3)^2 = 12 - 9 = 3 \] Значит, парабола выше оси Ox, и мы можем вычислить объем.
Используем метод дисков для вычисления объема. Объем вращающегося тела вокруг оси Ox можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Здесь \(f(x) = 4x - x^2\), \(a = 0\), и \(b = 3\).
Подставляем в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (4x - x^2)^2 \, dx \]
Раскроем скобки: \[ (4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 \] Теперь у нас есть: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (16x^2 - 8x^3 + x^4) \, dx \]
Находим интеграл: \[ V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{8x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} \] \[ = \pi \left[ \frac{16(3)^3}{3} - 2(3)^4 + \frac{(3)^5}{5} \right] \] \[ = \pi \left[ \frac{16 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 81 + \frac{243}{5} \right] \] \[ = \pi \left[ 144 - 162 + \frac{243}{5} \right] \] Приведем к общему знаменателю 5: \[ 144 = \frac{720}{5}, \quad -162 = \frac{-810}{5}, \quad \frac{243}{5} = \frac{243}{5} \] \[ V = \pi \left[ \frac{720 - 810 + 243}{5} \right] = \pi \left[ \frac{153}{5} \right] \]
Окончательная форма объема: \[ V = \frac{153\pi}{5} \]
Теперь давайте представим график функции \(y = 4x - x^2\), ограниченной указанными линиями. Вы можете построить график с помощью графического калькулятора или программного обеспечения, чтобы наглядно увидеть область, которая будет вращаться вокруг оси Ox.
Если потребуется дальнейшая помощь или уточнения, не стесняйтесь задавать вопросы!
