Y=-x^3+5x на промежутке [-2;2]
Конечно! Давайте рассмотрим функцию \( y = -x^3 + 5x \) на промежутке \([-2; 2]\).
Определение функции и ее графика: Функция \( y = -x^3 + 5x \) — это кубическая функция. Она состоит из двух частей: кубической \( -x^3 \), которая будет убавлять значение функции, и линейной \( 5x \), которая будет его увеличивать.
Поиск значений функции на границах промежутка:
- Рассчитаем значение функции в крайних точках: \[ y(-2) = -(-2)^3 + 5 \cdot (-2) = -(-8) - 10 = 8 - 10 = -2 \] \[ y(2) = -(2)^3 + 5 \cdot 2 = -8 + 10 = 2 \]
Поиск критических точек: Для нахождения экстремумов функции нужно взять производную, приравнять ее к нулю и решить уравнение: \[ y' = -3x^2 + 5 \] Приравниваем к нулю: \[ -3x^2 + 5 = 0 \implies 3x^2 = 5 \implies x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29 \]
Оценка значений функции в критических точках:
- Рассчитаем значения функции в критических точках: \[ y\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \quad \text{и} \quad y\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \] Примерное значение: \[ y\left(1.29\right) \approx -1.29^3 + 5 \cdot 1.29 \approx -2.1 + 6.45 \approx 4.35 \] \[ y\left(-1.29\right) \approx 1.29^3 + 5 \cdot (-1.29) \approx 2.1 - 6.45 \approx -4.35 \]
Итоговые значения функции на промежутке:
- Значение в \(x = -2\) : \(y(-2) = -2\)
- Значение в критической точке \(x \approx -1.29\) : \(y(-1.29) \approx -4.35\)
- Значение в критической точке \(x \approx 1.29\) : \(y(1.29) \approx 4.35\)
- Значение в \(x = 2\) : \(y(2) = 2\)
Теперь мы можем сделать выводы о поведении функции на заданном промежутке. Минимальное значение функции на отрезке \([-2; 2]\) будет приблизительно \(-4.35\) при \(x \approx -1.29\), а максимальное значение будет приблизительно \(4.35\) при \(x \approx 1.29\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, дайте знать!
