49a⁶-14a³+1 Представить в виде квадрата двучлена

Чтобы представить выражение \( 49a^6 - 14a^3 + 1 \) в виде квадрата двучлена, начнем с выявления структуры выражения.

Посмотрим на его структуру. Обозначим \( x = a^3 \). Тогда выражение преобразуется в:

\[ 49x^2 - 14x + 1 \]

Теперь мы можем заметить, что это квадрат двучлена. Чтобы проверить, является ли это квадратом, ищем такое двучленное выражение \( (Ax + B)^2 \), где \( A \) и \( B \) — некоторые константы.

Рассмотрим разложение:

\[ (Ax + B)^2 = A^2x^2 + 2ABx + B^2 \]

Сравнивая коэффициенты с \( 49x^2 - 14x + 1 \), мы можем установить следующие равенства:

1. \( A^2 = 49 \) → \( A = 7 \) (так как А должен быть положительным)
2. \( 2AB = -14 \)
3. \( B^2 = 1 \) → \( B = 1 \) или \( B = -1 \)

Если мы выберем \( B = -1 \), то подставим его обратно:

1. \( 2(7)(-1) = -14\) (всё верно)

Таким образом, можем записать:

\[ 49x^2 - 14x + 1 = (7x - 1)^2 \]

Теперь подставим обратно \( x = a^3 \):

\[ 49a^6 - 14a^3 + 1 = (7a^3 - 1)^2 \]

Итак, окончательный ответ:

\[ 49a^6 - 14a^3 + 1 = (7a^3 - 1)^2 \]