Решите в натуральных числах уравнение т“ = 55 + п°. В ответ запишите сумму полученных значений M.

Давайте решим уравнение \( t^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах.

Перепишем уравнение в удобной форме:

\[ t^2 - n^2 = 55 \]

Это уравнение можно представить как разность квадратов, что подразумевает:

\[ (t - n)(t + n) = 55 \]

Теперь нам нужно разложить 55 на множители. Пары положительных делителей 55:

1. \( (1, 55) \)
2. \( (5, 11) \)

Для каждой пары делителей \( (a, b) \) найдем \( t \) и \( n \):

\[ t - n = a \\ t + n = b \]

Сложим и вычтем эти уравнения, чтобы найти \( t \) и \( n \):

\[ 2t = a + b \implies t = \frac{a + b}{2} \\ 2n = b - a \implies n = \frac{b - a}{2} \]

Теперь подставим каждую из пар делителей:

1. Для пары \( (1, 55) \):

   • \( a = 1 \), \( b = 55 \)
   • \( t = \frac{1 + 55}{2} = 28 \), \( n = \frac{55 - 1}{2} = 27 \)

2. Для пары \( (5, 11) \):

   • \( a = 5 \), \( b = 11 \)
   • \( t = \frac{5 + 11}{2} = 8 \), \( n = \frac{11 - 5}{2} = 3 \)

Теперь у нас есть два натуральных числа: \( (t, n) = (28, 27) \) и \( (t, n) = (8, 3) \).

Сейчас найдем сумму всех полученных значений \( M = t + n \) для каждого решения:

1. \( M_1 = 28 + 27 = 55 \)
2. \( M_2 = 8 + 3 = 11 \)

Теперь вычислим общую сумму всех значений \( M \):

\[ M_{total} = 55 + 11 = 66 \]

Итак, сумма всех полученных значений \( M = 66 \).