В хореографическом коллективе 20 человек. Для новой постановки выбирают четырёх солистов с помощью жеребьёвки. Какова вероятность того, что Катя Ч., входящая в состав коллектива, будет солировать?

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать вероятность того, что Катя Ч. будет выбрана среди четырех солистов из двадцати участников хореографического ансамбля.

1. Общее количество способов выбрать 4 солистов из 20. Это можно вычислить с помощью формулы комбинаторики: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество, а \( k \) — количество выбираемых. В нашем случае \( n = 20 \), \( k = 4 \). \[ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

2. Количество способов выбрать 3 солистов из оставшихся 19, если Катя Ч. уже выбрана. Теперь нам нужно выбрать 3 солистов из 19: \[ C(19, 3) = \frac{19!}{3!(19-3)!} = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 969 \]

3. Теперь мы можем найти вероятность того, что Катя Ч. будет среди солистов. Вероятность можно найти по формуле: \[ P(катя) = \frac{C(19, 3)}{C(20, 4)} = \frac{969}{4845} \]

4. Упрощение дроби. Обратите внимание, что обе числа делятся на 3: \[ P(катя) = \frac{323}{1615} \]

Таким образом, вероятность того, что Катя Ч. будет солировать, составляет \(\frac{323}{1615}\) или примерно 0,199 или 19,9%. Это значит, что у Кати Ч. есть 19,9% шанс быть выбранной в качестве солистки.