4sinα - 3cosα/3cosα + 4sinα, если tgα = 5

Чтобы решить выражение \(\frac{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 4\sin\alpha}\), используя данное условие \(\tg\alpha = 5\), сначала найдем значения \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\).

Поскольку \(\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 5\), мы можем выразить \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) через одно из них. Пусть \(\cos\alpha = x\). Тогда \(\sin\alpha = 5x\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. \] Подставляем \(\sin\alpha\): \[ (5x)^2 + x^2 = 1 \\ 25x^2 + x^2 = 1 \\ 26x^2 = 1 \\ x^2 = \frac{1}{26} \\ x = \frac{1}{\sqrt{26}}. \] Следовательно, \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}\).

Теперь находите \(\sin\alpha\): \[ \sin\alpha = 5x = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}. \]

Теперь подставим \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) в исходное выражение: \[ \frac{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 4\sin\alpha} = \frac{4 \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}}}{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} + 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{26}}}. \]

Упрощаем: \[ = \frac{(20 - 3)}{\left(3 + 20\right)} = \frac{17}{23}. \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 4\sin\alpha} = \frac{17}{23}. \]