Определи количество решений системы уравнений: { ( x + 4 ) 2 + y 2 = 36 y = 4 x − 12 { (x+4) 2 +y 2 =36 y=4x−12
Для определения количества решений системы уравнений
\[ \begin{cases} (x + 4)^2 + y^2 = 36 \\ y = 4x - 12 \end{cases} \]
воспользуемся первым уравнением, которое описывает окружность с центром в точке \((-4, 0)\) и радиусом 6. Второе уравнение представляет собой прямую линию.
Подставим второе уравнение в первое:
\[ (x + 4)^2 + (4x - 12)^2 = 36 \]
Теперь упрощаем это уравнение:
Раскроем скобки: \[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] \[ (4x - 12)^2 = 16x^2 - 96x + 144 \]
Подставим полученные выражения: \[ x^2 + 8x + 16 + 16x^2 - 96x + 144 = 36 \]
Объединим все члены: \[ 17x^2 - 88x + 160 = 36 \]
Переносим все на одну сторону: \[ 17x^2 - 88x + 124 = 0 \]
Теперь воспользуемся дискриминантом для определения количества решений квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 17\), \(b = -88\), \(c = 124\).
Подставляем значения: \[ D = (-88)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 124 \] \[ D = 7744 - 8448 \] \[ D = -704 \]
Так как дискриминант меньше нуля, это означает, что уравнение не имеет действительных решений.
Следовательно, система уравнений имеет 0 решений.
