sin2x > - √2/2

Чтобы решить неравенство \( \sin(2x) > -\frac{\sqrt{2}}{2} \), начнём с определения единичной окружности и значений функции синуса.

1. Находим границы: Неравенство говорит нам, что синус двойного угла \( 2x \) должен быть больше, чем \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Значения функции синуса равны \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) при углах \( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \) и \( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \) для целых \( k \).

2. Интервалы: Теперь определим промежутки, в которых \( \sin(2x) > -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это происходит между значениями \(\frac{5\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\) на интервале \( [2k\pi, 2(k+1)\pi] \):

   • То есть неравенство будет верным на промежутках: \[ 2x \in \left( 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \right) \quad \text{и} \quad \left( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, 2(k+1)\pi \right) \]

3. Делим на 2: Так как мы имеем \( 2x \), нам нужно разделить все границы на 2, чтобы получить \( x \):

   • Для интервала \( \left( 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \right) \): \[ x \in \left( k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right) \]
   • Для интервала \( \left( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, 2(k+1)\pi \right) \): \[ x \in \left( \frac{7\pi}{8} + k\pi, (k+1)\pi \right) \]

Таким образом, обобщая, мы получаем решение: \[ x \in \left( k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right) \quad \text{или} \quad x \in \left( \frac{7\pi}{8} + k\pi, (k+1)\pi \right) \quad \text{для любого целого} \, k. \]

Если у вас есть другие вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!