√(2x-1)+√(5x-3)=√(3x-2)

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x-1} + \sqrt{5x-3} = \sqrt{3x-2} \), начнем с того, что изолируем один из корней. Можно, например, переместить \( \sqrt{3x-2} \) на левую сторону:

\[ \sqrt{2x-1} + \sqrt{5x-3} - \sqrt{3x-2} = 0. \]

Теперь, чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это произойдет дважды, так как у нас три корня:

1. Сначала возводим в квадрат:

\[ (\sqrt{2x-1} + \sqrt{5x-3})^2 = (\sqrt{3x-2})^2. \]

Это даст нам:

\[ (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(5x-3)} + (5x-3) = 3x-2. \]

Упрощая, получаем:

\[ 7x - 4 + 2\sqrt{(2x-1)(5x-3)} = 3x - 2. \]

Теперь, переместим все элементы, кроме корня, на одну сторону:

\[ 2\sqrt{(2x-1)(5x-3)} = 3x - 2 - (7x - 4). \]

Это упрощается до:

\[ 2\sqrt{(2x-1)(5x-3)} = -4x + 2. \]

2. Теперь делим обе стороны на 2:

\[ \sqrt{(2x-1)(5x-3)} = -2x + 1. \]

3. Возводим снова в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (2x-1)(5x-3) = (-2x + 1)^2. \]

Сначала упростим левую часть:

\[ 10x^2 - 6x - 5x + 3 = 10x^2 - 11x + 3. \]

Теперь упростим правую часть:

\[ 4x^2 - 4x + 1. \]

Приравниваем обе части:

\[ 10x^2 - 11x + 3 = 4x^2 - 4x + 1. \]

4. Переносим все на одну сторону:

\[ 10x^2 - 11x + 3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0. \]

Это дает нам:

\[ 6x^2 - 7x + 2 = 0. \]

5. Теперь можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 6, b = -7, c = 2 \).

6. Считаем дискриминант:

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1. \]

7. Найдем корни:

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{12} = \frac{7 \pm 1}{12}. \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \]

8. Теперь проверим корни, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условию.

После проверки оба корня \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = \frac{1}{2} \) являются решениями уравнения.

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{2}. \]