Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных

Для решения задачи давайте обозначим три последовательных натуральных числа как \(n\), \(n+1\) и \(n+2\). Здесь \(n\) – минимальное из этих чисел.

Согласно условию, квадрат меньшего числа на 65 меньше произведения двух остальных:

\[ n^2 = (n+1)(n+2) - 65 \]

Теперь раскроем скобки справа:

\[ n^2 = n^2 + 3n + 2 - 65 \]

После упрощения у нас получится:

\[ n^2 = n^2 + 3n - 63 \]

Теперь вычтем \(n^2\) из обеих сторон уравнения:

\[ 0 = 3n - 63 \]

Решим это уравнение для \(n\):

\[ 3n = 63 \] \[ n = 21 \]

Таким образом, три последовательных натуральных числа будут:

\[ 21, 22, 23 \]

Где малое число — это 21. Проверим условие: квадрат меньшего числа \(21^2 = 441\), а произведение двух остальных:

\[ 22 \times 23 = 506 \]

Теперь проверим, что квадрат меньше на 65:

\[ 506 - 441 = 65 \]

Условие выполняется! Таким образом, ответ: три последовательных натуральных числа — \(21, 22, 23\).