Два шара массами m и 4m движутся с равными скоростями в перпендикулярных направлениях. После соударения шар массой m остановился. Сколько процентов начальной суммарной энергии шаров перешло в тепло?

Question 1

Задача Задача №2408907

А

Аноним

03 декабря 2024 22:45 · публичный вопрос

А

Аноним 03 декабря 2024 22:45

Два шара массами m и 4m движутся с равными скоростями в перпендикулярных направлениях. После соударения шар массой m остановился. Сколько процентов начальной суммарной энергии шаров перешло в тепло?

Answer

При решении задачи о столкновении двух шаров, где один шар имеет массу \( m \), а другой \( 4m \), и они движутся с равными скоростями, нужно рассмотреть закон сохранения импульса и изменение кинетической энергии.

Пусть скорости шаров до столкновения равны \( v \). Тогда начальная кинетическая энергия \( K_{\text{нач}} \) обоих шаров можно рассчитать следующим образом:

Кинетическая энергия шара массой \( m \): \[ K_1 = \frac{1}{2} m v^2 \]
Кинетическая энергия шара массой \( 4m \): \[ K_2 = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot v^2 = 2m v^2 \]

Общая начальная кинетическая энергия: \[ K_{\text{нач}} = K_1 + K_2 = \frac{1}{2} m v^2 + 2m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{4}{2} mv^2 = \frac{5}{2} mv^2 \]

После столкновения шар массой \( m \) останавливается, значит его кинетическая энергия равна нулю, а шар массой \( 4m \) должен будет унести часть энергии.

По закону сохранения импульса: \[ m \cdot v + 4m \cdot 0 = 0 \cdot m + 4m \cdot v' \] где \( v' \) — скорость шара массой \( 4m \) после столкновения.

Так как шар массой \( m \) остановился, шар массой \( 4m \) унаследовал всю импульсную величину, его скорость будет: \[ m \cdot v = 4m \cdot v' \implies v' = \frac{1}{4} v \]

Теперь вычислим конечную кинетическую энергию \( K_{\text{кон}} \) шара массой \( 4m \): \[ K_{\text{кон}} = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot \left(\frac{1}{4} v\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot \frac{1}{16} v^2 = \frac{1}{8} mv^2 \]

Теперь найдем количество энергии, которая перешла в тепло (потраченная энергия): \[ \Delta K = K_{\text{нач}} - K_{\text{кон}} = \frac{5}{2} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 \]

Чтобы это выразить в процентах от начальной энергии, упростим: \[ \Delta K = \frac{5}{2} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 = \frac{20}{8} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 = \frac{19}{8} mv^2 \]

Процент энергии, перешедшей в тепло, можно считать по формуле: \[ \text{Процент} = \left(\frac{\Delta K}{K_{\text{нач}}}\right) \cdot 100\% \]

Теперь подставляем: \[ \text{Процент} = \left(\frac{\frac{19}{8} mv^2}{\frac{5}{2} mv^2}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{\frac{19}{8}}{\frac{20}{8}}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{19}{20}\right) \cdot 100\% = 95\% \]

Таким образом, 95% начальной суммарной энергии шаров перешло в тепло.

Question 2

Два шара массами m и 4m движутся с равными скоростями в перпендикулярных направлениях. После соударения шар массой m остановился. Сколько процентов начальной суммарной энергии шаров перешло в тепло?

Answer

При решении задачи о столкновении двух шаров, где один шар имеет массу \( m \), а другой \( 4m \), и они движутся с равными скоростями, нужно рассмотреть закон сохранения импульса и изменение кинетической энергии. Пусть скорости шаров до столкновения равны \( v \). Тогда начальная кинетическая энергия \( K_{\text{нач}} \) обоих шаров можно рассчитать следующим образом: 1. Кинетическая энергия шара массой \( m \): \[ K_1 = \frac{1}{2} m v^2 \] 2. Кинетическая энергия шара массой \( 4m \): \[ K_2 = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot v^2 = 2m v^2 \] Общая начальная кинетическая энергия: \[ K_{\text{нач}} = K_1 + K_2 = \frac{1}{2} m v^2 + 2m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{4}{2} mv^2 = \frac{5}{2} mv^2 \] После столкновения шар массой \( m \) останавливается, значит его кинетическая энергия равна нулю, а шар массой \( 4m \) должен будет унести часть энергии. По закону сохранения импульса: \[ m \cdot v + 4m \cdot 0 = 0 \cdot m + 4m \cdot v' \] где \( v' \) — скорость шара массой \( 4m \) после столкновения. Так как шар массой \( m \) остановился, шар массой \( 4m \) унаследовал всю импульсную величину, его скорость будет: \[ m \cdot v = 4m \cdot v' \implies v' = \frac{1}{4} v \] Теперь вычислим конечную кинетическую энергию \( K_{\text{кон}} \) шара массой \( 4m \): \[ K_{\text{кон}} = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot \left(\frac{1}{4} v\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot \frac{1}{16} v^2 = \frac{1}{8} mv^2 \] Теперь найдем количество энергии, которая перешла в тепло (потраченная энергия): \[ \Delta K = K_{\text{нач}} - K_{\text{кон}} = \frac{5}{2} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 \] Чтобы это выразить в процентах от начальной энергии, упростим: \[ \Delta K = \frac{5}{2} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 = \frac{20}{8} mv^2 - \frac{1}{8} mv^2 = \frac{19}{8} mv^2 \] Процент энергии, перешедшей в тепло, можно считать по формуле: \[ \text{Процент} = \left(\frac{\Delta K}{K_{\text{нач}}}\right) \cdot 100\% \] Теперь подставляем: \[ \text{Процент} = \left(\frac{\frac{19}{8} mv^2}{\frac{5}{2} mv^2}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{\frac{19}{8}}{\frac{20}{8}}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{19}{20}\right) \cdot 100\% = 95\% \] Таким образом, **95%** начальной суммарной энергии шаров перешло в тепло.