Библиотека состоит из 8 различных книг, причём 5 по 3 руб. , две по 1 руб. и одна по 2 руб. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят 4 рубля.
Для начала давайте определим, какие книги у нас есть:
- 5 книг по 3 рубля
- 2 книги по 1 рублю
- 1 книга по 2 рубля
Теперь посчитаем общее количество книг в библиотеке:
\[ 5 + 2 + 1 = 8 \text{ книг} \]
Следующим шагом нужно установить, сколько существует способов выбрать 2 книги из 8. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n \) — общее количество книг, а \( k \) — количество книг, которые мы выбираем. В нашем случае:
\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8 - 2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]
Теперь найдем количество способов выбрать 2 книги таким образом, чтобы они стоили в сумме 4 рубля. Существует несколько вариантов, которые могут привести к этой сумме:
- Одна книга по 3 рубля и одна книга по 1 рублю.
- Две книги по 2 рубля невозможны, так как у нас только одна такая книга.
Рассмотрим вариант 1:
- Мы можем взять одну книгу по 3 рубля (из 5) и одну книгу по 1 рублю (из 2).
Количество способов выбрать одну книгу по 3 рубля:
\[ C(5, 1) = 5 \]
Количество способов выбрать одну книгу по 1 рублю:
\[ C(2, 1) = 2 \]
Теперь умножим количество способов выбора:
\[ 5 \times 2 = 10 \]
Теперь, когда мы знаем количество благоприятных исходов (10), можем найти вероятность того, что выбраны две книги, стоимостью 4 рубля:
\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \]
Итак, вероятность того, что случайно выбранные 2 книги стоят 4 рубля, составляет \(\frac{5}{14}\).
