1. Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа. 2. Площадь прямоугольника равна 6 смг, а его периметр - 10 см. Найдите стороны прямоугольника. В…
1. Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа. 2. Площадь прямоугольника равна 6 смг, а его периметр - 10 см. Найдите стороны прямоугольника. В зеленом зрительном зале 350 мест, а в синем - 480. В синем зале на 5 рядов меньше, чем в зеленом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду зеленого зала. Сколько мест в ряду в каждом зале? 4. Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедиста 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист? 5. Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.
Давайте решим каждый из предложенных вами пунктов по очереди.
Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130.
Пусть \(x\) и \(y\) — два числа. Из условий задачи мы имеем:
\[ x + y = 46 \] \[ x^2 + y^2 = 1130 \]
Используя формулу \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy\), подставляем значение \(x + y\):
\[ x^2 + y^2 = 46^2 - 2xy \] \[ 1130 = 2116 - 2xy \] \[ 2xy = 2116 - 1130 = 986 \quad \Rightarrow \quad xy = 493 \]У нас есть система уравнений: \[ x + y = 46 \] \[ xy = 493 \]
Эти уравнения могут быть записаны как квадратное уравнение:
\[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 46t + 493 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = 46^2 - 4 \cdot 493 = 2116 - 1972 = 144 \]
Корни уравнения:
\[ t = \frac{46 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{46 \pm 12}{2} \] \[ t_1 = 29, \quad t_2 = 17 \]
Таким образом, числа равны 29 и 17.Площадь прямоугольника равна 6 см², а его периметр - 10 см.
Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.
Мы имеем: \[ ab = 6 \] \[ 2(a + b) = 10 \quad \Rightarrow \quad a + b = 5 \]
Теперь выразим \(b\) через \(a\): \[ b = 5 - a \]
Подставим это в уравнение площади: \[ a(5 - a) = 6 \] \[ 5a - a^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 5a + 6 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Корни уравнения:
\[ a = \frac{5 \pm 1}{2} = 3, \quad 2 \]
Соответственно, стороны прямоугольника равны 3 см и 2 см.Зеленый зрительный зал имеет 350 мест, а синий - 480.
Обозначим количество рядов в зеленом зале за \(x\), а количество мест в каждом ряду в зеленом зале за \(y\).
Тогда:
\[ xy = 350 \] В синем зале количество рядов: \(x - 5\), количество мест в каждом ряду: \(y + 10\):
\[ (x - 5)(y + 10) = 480 \]
Подставим \(y\) из первого уравнения:
\[ y = \frac{350}{x} \]
Во втором уравнении:
\[ (x - 5)\left(\frac{350}{x} + 10\right) = 480 \] После раскрытия скобок и упрощения получите уравнение относительно \(x\). Найдите его корни.Два велосипедиста встречаются через разных промежутков времени.
Пусть скорости велосипедистов равны \(v_1\) и \(v_2\).
Если первый выезжает на 2 ч раньше:
\[ 2v_1 + 2.5v_2 = 30 \] Если второй выходит на 2 ч раньше:
\[ 3v_1 + 2v_2 = 30 \]
Решите эту систем уравнений.Две бригады выполняют задание за 3 ч 36 мин.
Преобразуем 3 ч 36 мин в часы:
\[ 3.6 \text{ ч} = \frac{18}{5} \text{ ч} \]
Обозначим время, требуемое второй бригаде, как \(t\), тогда времени первой бригады \(t + 3\).
Находим работу каждой бригады:
\[ \frac{5}{18} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 3} \]
Перейдем к решению.
Если необходимо, я могу продолжить решение некоторых пунктов более детально.
