В ящике стола у Кирилла лежат 10 гелевых ручек и 8 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту? (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Давайте решим задачу о вероятности того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту.
У нас есть 10 гелевых и 8 шариковых ручек, всего 18 ручек. Мы хотим, чтобы третья ручка была гелевой, а первые две — шариковыми.
Событие: первые две ручки должны быть шариковыми, а третья — гелевой.
Обозначим события:
- Для первой ручки: вероятность того, что она шариковая, равна \( \frac{8}{18} \).
- После того как мы вытащили одну шариковую ручку, у нас остаётся 7 шариковых и 10 гелевых ручек (всего 17 ручек). Вероятность того, что вторая ручка тоже шариковая, равна \( \frac{7}{17} \).
- Теперь, когда мы уже вытащили две шариковые ручки, осталось 10 гелевых и 6 шариковых (всего 16 ручек). Вероятность того, что третья ручка будет гелевой, равна \( \frac{10}{16} \) или \( \frac{5}{8} \).
Теперь перемножим вероятности: \[ P = \left(\frac{8}{18}\right) \times \left(\frac{7}{17}\right) \times \left(\frac{10}{16}\right) \]
Теперь решим это уравнение по шагам:
\[ P = \frac{8 \times 7 \times 10}{18 \times 17 \times 16} \]
Вычисляем числитель: \[ 8 \times 7 = 56 \] \[ 56 \times 10 = 560 \]
Вычисляем знаменатель: \[ 18 \times 17 = 306 \] \[ 306 \times 16 = 4896 \]
Теперь у нас есть: \[ P = \frac{560}{4896} \]
Упростим дробь. Находим наибольший общий делитель (НОД) для 560 и 4896. После деления: \[ P = \frac{35}{306} \]
Давайте переведём это в десятичную форму: \[ \frac{35}{306} \approx 0.1147 \]
Округляя до сотых, получаем: \[ P \approx 0.11 \]
Таким образом, вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет 0.11.
