Сумму квадратов сторон прямоугольника равна 45см 2 , а его периметр равен 18см найдите его стороны прямоугольника
Для нахождения сторон прямоугольника, обозначим их как \(a\) и \(b\).
Из условия задачи:
- Сумма квадратов сторон: \(a^2 + b^2 = 45\) см².
- Периметр: \(2(a + b) = 18\) см, что можно упростить до \(a + b = 9\) см.
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} a + b = 9 \\ a^2 + b^2 = 45 \end{cases} \]
Мы можем выразить \(b\) через \(a\) из первого уравнения:
\[ b = 9 - a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^2 + (9 - a)^2 = 45 \]
Распишем второе слагаемое:
\[ a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45 \]
Объединив и упрощая, получаем:
\[ 2a^2 - 18a + 81 - 45 = 0 \]
Упрощаем далее:
\[ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \]
Теперь разделим всё уравнение на 2:
\[ a^2 - 9a + 18 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]
Так как дискриминант положителен, найдем корни:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 3}{2} \]
Это дает нам два значения для \(a\):
- \(a = \frac{12}{2} = 6\)
- \(a = \frac{6}{2} = 3\)
Теперь найдём соответствующие \(b\):
Если \(a = 6\), то \(b = 9 - 6 = 3\).
Если \(a = 3\), то \(b = 9 - 3 = 6\).
Таким образом, стороны прямоугольника составляют \(3\) см и \(6\) см.
